江苏省如皋中学2017-2018学年度第一学期第二次阶段测试
高三数学
一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则?U(M∪N)＝ ▲ ． 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初
级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为 ▲ ． 3．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝ ▲ ． 4．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M -ABCD
1
的体积小于的概率为 ▲ ．
6
1＋ai
5．已知a∈R，若为实数，则a＝ ▲ ．
2－i
1
6．设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝”的 ▲ 条件．
2(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)． x≥1，??
7．已知点P(x，y)的坐标满足条件?y≥x－1，
??x＋3y－5≤0，
的最小值为 ▲ ．
x2y2
8．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭
ab
圆的一个交点为M，若MF1垂直于MF2，则椭圆的离心率为 ▲ ． 9．若实数a?0，b?1，且a?b?2，则
那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离
12b的最小值为 ▲ ． ?2ab?110．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，
????????????且∠COB＝30°．若OC＝λOA＋2μOB，则???＝ ▲ ． Sn11．设数列{an}的前n项和为Sn，若的值为常数，则称数列{an}为“吉
S2n
祥数列”，这个常数称为数列{an} 的“吉祥数”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则它的“吉祥数”是 ▲ ．
∠ABC3
12．如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD
23
1
＝
43，则cos∠C＝ ▲ ． 3
13．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有
?????????3???|OA＋OB|≥|AB|，那么k的取值范围是 ▲ ．
3
14．若不等式2ex?nx?15?0在实数集R上恒成立，则正整数n的最大值是 ▲ ．
[参考数据：7?e2?15] 2二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字. . . . . . . . 说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥BC， E，F分别是A1C1，
BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1 ； (2)求证：C1F∥平面ABE．
16．（本小题14分）．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(1)求角C的大小；
2a－bcos B
＝． ccos C
π
(2)设函数f(x)＝cos(2x＋C)，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，
4π
0，?上的最大值． 求函数g(x)在区间??3?
17．（本小题14分）．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的
横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m． （1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填
土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠（如图（1）建立平面直角坐标系），新水
2
渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？ （2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）
成横断面为等腰梯形的新水渠（如图（2）建立平面直角坐标系），使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
y4 2 （第17题图）
yPQ
CPBBOAx
OAMx
（图1） (图2)
x2y218．（本小题16分）．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、
ab右焦点分别为F1(?1,0)、F2(1,0)，定点A(－2,0)，B(2,0)．
TA
(1) 若椭圆C上存在点T，使得＝2，求椭圆C的离心率的取值范围；
TF1
（?1,(2) 已知点
2)在椭圆C上． 2①求椭圆C的方程；
②记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若AMλ＋μ的值．
??AP，BM??BQ．求
33an19．（本小题16分）．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*．
52an＋1
?1?
(1)求证：数列?a－1?为等比数列；
?
n
?
3
111
(2)记Sn＝＋＋?＋，若Sn<100，求最大正整数n；
a1a2an
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题16分）．已知a，b为实数，函数f(x)?1?b，函数g(x)?lnx． x?a(1) 当a?0时，令F(x)?f(x)?g(x)，若F(x)?0恒成立，求实数b的取值范围； (2) 当a??1时，令G(x)?f(x)?g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y?G(x)定义域中的任意实数x1，均存在实数x2??1,???，有G(x1)?x2?0成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．
江苏省如皋中学2017-2018学年度第一学期阶段练习
高三数学（理科附加题）
21．已知矩阵A＝?
? 2 ?－1
1?3?
?将直线l：x＋y－1＝0变换成直线l′．
4
(1)求直线l′的方程；
(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A1；若不可逆，请说明理由．
－
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐
π
θ－?＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点． 标方程为ρcos??3?(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
23．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11．
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
5