等比数列及等比数列前n项和公式 一、等比数列及其性质
1.定义： 即： （判断等比的方法）
例1：设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列
（II）求数列{an}的通项公式。
1’a2?2,an＋2＝例2：已知数列?an}满足， a1＝
an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列； (Ⅱ)求?an}的通项公式。
2.等比数列通项公式: （累乘法， 基本量法） 例1：（1）Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则
S5? S2
（2）等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，
1a?aa3,2a2成等差数列，则910? 2a7?a8
D3?22
A.1?2
B. 1?2
C. 3?22
（3）等比数列 A．(?2)
n?1{an}中，|a1|?1,a5??8a2,a5?a2,则an?
B．?(?2n?1
) C．(?2) D．?(?2)
nn（4）Sn为等比数列?an?的前n项和，已知3S3?a4?2，3S2?a3?2，则公比q? 性质1：单调性
例1：{an}是等比数列且单调递增，前3项和为7，a1?3,3a2,a3?4成等比数列，求an
例2：设｛an｝是等比数列，则“a1?a2?a3”是数列｛an｝是递增数列的（ ） （A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
性质2：对称性 例1：（1）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1=
（2）等比数列{an}中，a1?a2n?1?22n，则log2a1?log2a3???log2a2n?1?
性质3：等比中项：
例1：公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则
2S10
=
例2：等差数列{an}的公差d=2，且a1,a3,a4成等比数列，则a2?
二、等比数列前n项和
1.等比数列前n项和公式： （推导公式方法：错位相减法） 例1：（1）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若
S6S=3 ，则9 =S3S6（2）设等比数列{an}的公比q?
S1，前n项和为Sn，则4?
a42（3）例2：设{an}是等比数列，公比q?2，Sn为{an}的前n项和。记
Tn?
17Sn?S2n,n?N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0= 。
an?1性质1：Sn,S2n?Sn,S3n?S2n?成等比数列
例1：等比数列{an}的前n项和为Sn，S10?10,S20?30，求S30
例2：等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn?x,S2n?Sn?y,S3n?S2n?z，则（ ） A：2y?x?z B：y2?xz C：x(x?y)?y(y?z) D：y(y?z)?x(z?x)
性质2：等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn??Aqn?A
例1：等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N，点(n,Sn)，均在函数
?y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
（1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn?
n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an
例2：数列{an}的前n项和Sn?2n2?2n，数列{bn}的前n项和Tn?2?bn， （1）求{an}，{bn}的通项公式 （2）若cn?anbn，求{cn}的前n项和
例3：设等比数列?an?的首项a1?1，前n项和为Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0， 2且数列?an?各项均正。（Ⅰ）求?an?的通项； （Ⅱ）求?nSn?的前n项和Tn。
例4.已知数列{an}的首项a1?22an1，an?1?，n?1,2,3,?．（Ⅰ）证明：数列{?1}3anan?1是等比数列；（Ⅱ）数列{
n}的前n项和Sn． an