H=
10 50 0 0 1 35 24 0 0 10 50 0 0 1 35 24
由系统返回的hurwitz矩阵可以看出，系统是稳定的。与前面的分析结果完全一致。 注意：routh（）和hurwitz（）不是MATLAB中自带的功能函数，须加载ctrllab3.1文件夹（自编）才能运行。
三、实验内容
1．观察函数step( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 s2?3s?7 G(s)?4
s?4s3?6s2?4s?1绘制出系统的阶跃响应曲线？ 2．对典型二阶系统
?n2 G(s)?2s?2??ns??n21）分别绘出?n?2(rad/s)，?分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数?对系统的影响，并计算?=0.25时的时域性能指标?p,tr,tp,ts,ess。
2）绘制出当?=0.25, ?n分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数?n对系统的影响。 3．系统的特征方程式为2s4?s3?3s2?5s?10?0，试判别该系统的稳定性。 四、实验报告
1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB运算结果。 2. 记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。 3．总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。 4．写出实验的心得与体会。 五、预习要求
1. 预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句，熟悉MATLAB指令及step( )和impulse( )函数。
2. 结合实验内容，提前编制相应的程序。 3．思考特征参量?和?n对二阶系统性能的影响。 4．熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。
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实验三 线性系统的根轨迹
一、实验目的
1. 熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB函数
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为
b1sm?b2sm?1???bms?bm?1 G(s)?KG0(s)?Kns?a1sn?1???bn?1s?an系统的闭环特征方程可以写成
1?KG0(s)?0
对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
绘制系统的根轨迹rlocus（）
MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为：
rlocus(num,den) 开环增益k的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向量k。 其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的降幂排列。K为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数G(s)?K?用语句如下：
num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') %给坐标轴加上说明 title('Root Locus') %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a）所示。
若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b）所示。
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(s?1)，绘制系统的根轨迹的matlab的调
s3?4s2?2s?9num=[1 1]; den=[1 4 2 9];
k=1:0.5:10; rlocus (num,den,k)
（a） 完整根轨迹图形 （b）特定增益范围内的根轨迹图形
图3-1 系统的根轨迹图形
1）确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind（）
在MATLAB中，提供了rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的值。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r（向量）的值。该函数的调用格式为：
[k,r]=rlocfind(num,den)
执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus（num,den），作出根轨迹图。执行rlocfind命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K和闭环根r的返回变量值。
s2?5s?6例3-2：系统的开环传递函数为G(s)?K3，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统
s?8s2?3s?25?稳定的K的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。则此时的matlab的调用格式为：
G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹
[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线
则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。
其中，调用rlocfind（）函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264，故系统稳定的K的范围为K?(0.0264,?)。
2）绘制阻尼比?和无阻尼自然频率?n的栅格线sgrid( )
当对系统的阻尼比?和无阻尼自然频率?n有要求时，就希望在根轨迹图上作等?或等?n线。matlab中实现这一要求的函数为sgrid( )，该函数的调用格式为：
sgrid(?,?n) 已知?和?n的数值，作出等于已知参数的等值线。 sgrid(‘new’) 作出等间隔分布的等?和?n网格线。 例3-3：系统的开环传递函数为G(s)?1，由rlocfind函数找出能产生主导极点阻尼
s(s?1)(s?2)- 13 -
?=0.707的合适增益，如图3-3(a)所示。
G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]); zet=[0.1:0.2:1];wn=[1:10]; sgrid(zet,wn);hold on;rlocus(G) [k,r]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window selected_point = -0.3791 + 0.3602i k = 0.6233 r =
-2.2279 -0.3861 + 0.3616i -0.3861 - 0.3616i
（a）根轨迹上点的选择 （b）闭环系统阶跃响应
图3-3 由根轨迹技术设计闭环系统
（a）根轨迹图形 （b）K=1时的阶跃响应曲线
图3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线
同时我们还可以绘制出该增益下闭环系统的阶跃响应，如图3-3(b)所示。事实上，等?或等?n线在设计系补偿器中是相当实用的，这样设计出的增益K=0.6233将使得整个系统的阻尼比接近0.707。由下面的MATLAB语句可以求出主导极点，即r(2.3)点的阻尼比和自然频率为
G_c=feedback(G,1);
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step(G_c) dd0=poly(r(2:3,:));
wn=sqrt(dd0(3));zet=dd0(2)/(2*wn);[zet,wn] ans =
0.7299 0.5290
我们可以由图3-3(a)中看出，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常接近，设计的效果是令人满意的。
3）基于根轨迹的系统设计及校正工具rltool
matlab中提供了一个系统根轨迹分析的图形界面，在此界面可以可视地在整个前向通路中添加零极点（亦即设计控制器），从而使得系统的性能得到改善。实现这一要求的工具为rltool，其调用格式为：
rltool 或 rltool(G)
例3-4：单位负反馈系统的开环传递函数
G(s)?s?0.125
s(s?5)(s?20)(s?50)2输入系统的数学模型，并对此对象进行设计。
den=[conv([1,5],conv([1,20],[1,50])),0,0]; num=[1,0.125]; G=tf(num,den); rltool(G)
该命令将打开rltool工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图3-4（a）所示。单击该图形菜单命令Analysis中的Response to Step Command 复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响应曲线，如图3-4（b）所示。可见这样直接得出的系统有很强的振荡，就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
a）原对象模型的根轨迹 （b）闭环系统阶跃响应
图3-4 根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析
单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加一对共轭复极点，两个稳定零点，调整它们的位置，并调整增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应效果，则可以试凑地设计出一个控制器：
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