题型三 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an
1
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，a1＝. 2
?1?
(1)求证：?S?为等差数列；
?n?(2)求an的表达式．
2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足：10Sn＝a2n＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列．
(1)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项an；
2m
(2)设bn＝，Mn是数列{bn}的前n项和，求使得Mn<对所有的n∈N*都成立的实
20an·an＋1
数m的取值范围．
1
答案
1．(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，
∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.
11
∵Sn≠0，∴－＝2 (n≥2)．
SnSn－1
?1?11
由等差数列的定义，可知?S?是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
S1a1?n?
11
(2)解 方法一 由(1)，知＝＋(n－1)d
SnS1
1
＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. 2n
1
当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；
2n(n－1)
1
当n＝1，a1＝，不满足上式，
21
(n＝1)，2
故an＝
1－ (n≥2).2n(n－1)
11
方法二 由(1)，知＝＋(n－1)d
SnS1
1
＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. 2n111
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－＝－，
2n2(n－1)2n(n－1)
1
当n＝1时，a1＝，不满足上式，
2
1
(n＝1)，2
故an＝
1－ (n≥2).2n(n－1)
???
???
2．(1)证明 ∵10Sn＝a2n＋5an＋6，① ∴10a1＝a21＋5a1＋6，解之得a1＝2或a1＝3. 又10Sn－1＝a2n－1＋5an－1＋6 (n≥2)②
2由①－②得10an＝(a2n－an－1)＋5(an－an－1)，
即(an＋an－1)(an－an－1－5)＝0. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝5 (n≥2)， ∴数列{an}是等差数列．
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73，a1，a3，a15不成等比数列， ∴a1≠3.
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，a1，a3，a15成等比数列， ∴a1＝2.∴an＝5n－3.
(2)由(1)，得an＝5n－3，所以有：
22bn＝＝
an·an＋1(5n－3)·[5(n＋1)－3]
2
2
(5n－3)·(5n＋2)
121
＝?5n－3－5n＋2? 5??＝
∴Mn＝b1＋b2＋…＋bn
11?211??11?
－－＋－＋…＋?＝[?5?27??712??5n－35n＋2?]
1211
＝?2－5n＋2?<. 5??5
mm1
为使Mn<对所有的n∈N*都成立，必须且只须≥，得m≥4，即实数m的取值范围
20205是m≥4.
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