`第三章题解
3-1
电子的能量分别为10eV，100 eV，1000 eV时，试计算相
应的德布罗意波长。
解：依计算电子能量和电子波长对应的公式
p2?p?2meEk 电子的能量: Ek?2mehh由德布罗意波长公式: ??p???2meEK ??1.226nm E ?1?1.2261.226nm?0.388nm ?2?nm?0.1226nm 101001.226?3?nm?0.0388nm1000
3-2 设光子和电子的波长均为0.4nm，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？
（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？ 解：（1）由??h可知光子的动量等于电子的动量，即p光子:p电子=1:1 p（2）由 光子动能与波长的对应的关系
?光子1.24?nm E光子(KeV)1.22621.226?nm E电子?()nm E电子?电子E光子E电子1.24?103?0.4??329.96 21.226电子动能与波长的关系 ?电子 则知
3-3 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度
1
为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?
解： （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：
2E?E?mc E?mc k022mc?2mc m?2m0 0m01m??2m0?422v v1?1?22cc1v23v2 ?1?2 ?2
4c4c2 所以
3c?0.866c v?4 （2） 根据电子波长的计算公式：
1.226nm1.226nm?0.001715nm ??E(eV)?3511?10eVk
3-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量．若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为30°,试求这些热中子的能量．
解：根据布喇格衍射公式 nλ=dsinθ λ=dsinθ=0.18×sin30°nm=0.09 nm
1.226nm ??Ek(eV)
1.226nm22E?()?13.622eV?185.56eV k?
3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度
2
很大，因而必须考虑相对论修正．试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：
1.226??nmVr 式中Vr=V(1+0.978×10-6V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特．
分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解. 证明：
根据相对论质量公式 m?m0v1?()2c 将其平方整理乘c2,得其能
量动量关系式
v2222222222m[1?()]c?m 0c mc?pc?m0c c2E2?p2c2?m02c4 E?Ek?mc02 Ek?E?E0 p?111E2?m02c4?(Ek?m0c2)2?m02c4?Ek(Ek?2m0c2) ccchcEk(Ek?2mec)2 h???p?hc2mec22mec2Ek(Ek?2mec)2?1.226Ek(Ek?2mec2)2mec2?1.2261.2261.226???6VVrV(1?0.9785?10V)V(?1)2mec2
题意得证.
3-6 (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于
3
?E??E ?????1? 式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量．(康普顿波长λc=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)
(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? 证明：根据相对论能量公式 理乘c2
m?m0v2 将其平方整
1?()cv22222222222m[1?()]c?m 0c mc?pc?m0c cE2?p2c2?m2c4 E?E?mc2 Ek?E?E0 0k0p?
p?111E2?m02c4?(Ek?m0c2)2?m02c4?Ek(Ek?2m0c2) ccc1111E2?m02c4?(Ek?m0c2)2?m02c4?Ek(Ek?2m0c2)?(E?E0)(E?E0) cccc（1）相对论下粒子的德布罗意波长为：
hhchc? ???22 p(E?E0)(E?E0)E?E0 粒子的康普顿波长为
hhchc?c???2m0cm0cE0 hc(E2?E02)?cE0E2???()?1hc?E0E022(E?E0) （2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长
E2()?1?1E0 4
E2()?2,E?2E0 E0 E?2E0?2?511?722.55KeV Ek?E?E0?722.55?511?211.55(KeV) 则电子的动能为211.55KeV. 则电子的动能为211.55KeV
注意变换：1. ΔP转化为Δλ表示; 2. ΔE转化为Δν表示;
3-7 一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为
???10?7，试问该原子态的寿命为多长? ?
解： 依 ?E?t
?h 求Δt
??cE?h??h ?E?hc2? ?
? ?t?E?
2???????600?10?9?107?9?t?????1.6?10s 82?E2hc??4?c??4?3.14?3?10
3-8 一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能． 解： ?x?px?? 粒子被束缚在线度为r的范围内，即Δx = r 2那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：?px?2∵ ?px?[(px?px)] px?0 122(?p)?(p)平均 平均∴ x3? 2?x 5