题目：数据的预处理问题
摘要
数据处理贯穿于社会生产和社会生活的各个领域。数据处理技术的发展及其应用的广度和深度，极大地影响着人类社会发展的进程。数据补充，异常数据的鉴别及修正，在各个领域也起到了重要作用。 对于第一问，我们采用了多元线性回归的方法对缺失数据进行补充，我们将1960-2015.xls（见附表一）中的数据导入matlab。首先作出散点图，设定y(X59287)与x1(X54511)、x2(X57494)的关系为二元线性回归模型，即y=b0+b1x1+b2x2。之后作多元回归，求出系数b0=18.014，b1=0.051，b2=0.354，所以多元线性回归多项式为:Y=18.014+0.051*x1+0.354*x2。再作出残差分析图验证拟合效果，残差较小，说明回归多项式与源数据吻合得较好。若x1=30.4，x2=28.6时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=29.6888。类似地，若x1=40.6,x2=30.4时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=30.8462，即可补充缺失数据。 对于第二问，我们使用了异常值检验中标准差未知的t检验法。将除可疑测定值xd以外的其余测定值当做一个总体，并假设该总体服从正态分布。由这些测定值计算平均值x与标准差s，而将可疑值xd当做一个样本容量为1的特殊总体。如果xd与其余测定值同属于一个总体，则它与其余测定值之间不应有显著性差异。检测统计量为：k?xd?x?，假设可由标准差s替代?来进行检验,则检测统计量可视为：k?xd?xs。若统计量值大于相应置信度?下的t检验法的临界值T?（该临界值通过查表法得出），则将xd判为异常值。由此算法即可鉴别出相应的异常数据。 对于第三问，对于问题三，我们采用了分段线性插值，最近方法插值，三次样条函数插值以及三次多项式方法插值法来修正数据异常。同时也需利用外插法修正最后一个数据的异常。通过各种插值方法的比较，发现三次样条方法较为准确，并较好的对异常数据进行修正。 关键词：多元线性回归，t检验法，分段线性插值，最近方法插值，三次样条插值，三次多项式插值 C38 姓名 学号 专业 队长 康伟振 20141387032 应数长望 队员一 卜维新 20141346033 网络工程 队员二 李兰馨 20141302059 应用气象 一、 问题重述
1.1背景
在数学建模过程中总会遇到大数据问题。一般而言，在提供的数据中，不可避免会出现较多的检测异常值，怎样判断和处理这些异常值，对于提高检测结果的准确性意义重大。 1.2需要解决的问题
（1）给出缺失数据的补充算法； （2）给出异常数据的鉴别算法； （3）给出异常数据的修正算法。
二、 模型分析
2.1问题（1）的分析
属性值数据缺失经常发生甚至不可避免。 （一）较为简单的数据缺失
（1） 平均值填充
如果空值为数值型的，就根据该属性在其他所有对象取值的平均值来填充缺失的属性值；如果空值为非数值型的，则根据众数原理，用该属性在其他所有对象的取值次数最多的值（出现频率最高的值）来补齐缺失的属性值。
(2)热卡填充（就近补齐）
对于包含空值的数据集，热卡填充法在完整数据中找到一个与其最相似的数据，用此相似对象的值进行填充。
(3) 删除元组
将存在遗漏信息属性值的元组删除。
(二)较为复杂的数据缺失 (1)多元线性回归
当有缺失的一组数据存在多个自变量时，可以考虑使用多元线性回归模型。将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。
2.2问题（2）的分析
属性值异常数据鉴别很重要。
我们可以采用异常值t检验的方法比较前后两组数据的平均值，与临界值相比较即可辨别数据异常并剔除异常数据。 将除可疑测定值xd以外的其余测定值当做一个总体，并假设该总体服从正态分布。由这些测定值计算平均值x与标准差s，而将可疑值xd当做一个样本容量为1的特殊总体。如果xd与其余测定值同属于一个总体，则它与其余测定值之间不应有显著性差异。检测统计量为：k?xd?x?，假设可由标准差s替代?来进行检验,则检测统计量可视为：k?xd?xs。若统计量值大于相应置信度?下的t检验法的临界值T?（该临界值通过查表法得出），则将xd判为异常值。 2.3问题（3）的分析
对于数据修正，我们采用各种插值算法进行修正，这是一种行之有效的方法。 （1）分段线性插值
将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作In?x?，它满足In?xi??yi，且In?x?在每个小区间?xi,xi?1?上是线性函数In?x??i?0,1,???,n?。
In?x?可以表示为
In?x?有良好的收敛性，即对于x??a,b?有，
用 In?x?计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。但n 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。
(2) 三次多项式算法插值
当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式很困难，而此算法可以克服这一缺点。 （3）三次样条函数插值[4]
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。三次样条函数为：对于?a,b?上的分划?：a?x0?x1?????xn=b，则，
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。
三、 模型假设
1.假设只有因变量存在数据缺失，而自变量不存在缺失。
2.利用t检验法时，将除可疑测定值xd以外的其余测定值当做一个总体，并假设该总体服从正态分布。
四、 问题（1）的分析与求解
4.1问题分析
本题需要对缺失数据进行补充，情况可分为数据集中单一元素缺失及某一元组缺失两种情况。因此，对数据处理采用同上模型分析2.1的处理方法。 4.2问题处理
我们将1960-2015.xls（见附表一）中的数据导入matlab（程序见附录一）。首先作出散点图。
设定y(X59287)与x1(X54511)、x2(X57494)的关系为二元线性回归模型，即y=b0+b1x1+b2x2。之后作多元回归，求出系数b0=18.014，b1=0.051，b2=0.354，所以多元线性回归多项式为:Y=18.014+0.051*x1+0.354*x2。由matlab编程所得结果图如下4-2所示。
图4-2
再作出残差分析图验证拟合效果，残差较小，说明回归多项式与源数据吻合得较
好。若x1=30.4，x2=28.6时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=29.6888。类似地，若x1=40.6,x2=30.4时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=30.8462，即可补充缺失数据。
五、 问题（2）的分析与求解
5.1问题分析
本题需要对给定缺失数据进行鉴别，可以采用的方法为t检验检测法。T检验用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 5.2问题处理
(一)随机产生数据
由R系统随机产生数据对其进行缺失数据鉴别，代码如附录四所示，结果图如下5-1,5-2，5-3所示。
图5-1