2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五
x2y21．（14分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），
abQ是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2
cx； a的正切值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).
由P(x,y)在椭圆上，得
b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa2222
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?(a?c2x).a由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.
a22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?
2cac|FP|c由椭圆第二定义得，即|F1P|?|x? 1|?|a?x|.?2aca[来源:Zxxk.Com]aa|x?|c
由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分 aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. ?x?????设点Q的坐标为（x,y），则??y???x??c,2 y?.2
?x??2x?c,因此? ①
?y??2y.由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ② 将①代入②，可得x?y?a.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.……………………7分
222222
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④
2b2b. 所以，当a?时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c22由MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，
MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22③ ?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2
b2b4b2b222. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0. 由④得|y0|?cccc2b于是，当a?时，存在点M，使S=b2； c2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c
2y0y0当a?b时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1cx0?cx0?c
由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?FMF?|k1?k2|?2.…………14分
121?k1k22．（12分）
函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，
且f?(x)?0. 设x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m.
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；
3 （Ⅲ）若关于x的不等式x2?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
2 求b的取值范围及a与b所满足的关系.
（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；
当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的
最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分
2
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.[来源:Z|xx|k.Com]
x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的
222122结果可知，ax?b?3x3的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?3x3相切的直线的斜率大
22于a，该切线的方程为y?(2b)x?b.
于是ax?b?3x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分 22?121
3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
222 网]
(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)?2(1?b). ②
12有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③[来源:学.科.
44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).………………………………………………………………8分
2333令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是 2212222
?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.
?3?3?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a时，??(x)?0，所以，当x?a时，?(x)取最
小值.因此?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b)?3?12.………………10分
综上，不等式x2?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得2?2?b?2?2.
44?2(1?b) ②
12因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3． 已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N*) （I）证明数列?an?1?是等比数列；
（II）令f(x)?a1x?a2x2???anxn，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较
2f?(1)与23n2?13n的大小.
解：由已知Sn?1?Sn?n?5(n?N*)可得n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得
Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1即an?1?2an?1从而an?1?1??2an??1当
n?1时
S2?2S1?1?5所以a2?a1?2a1?6又a1?5所以a2?11从而a2?1?2?a1?1?
故总有an?1?1?2(an?1)，n?N又a1?5,a1?1?0从而比数列；
（II）由（I）知an?3?2n?1
因为f(x)?a1x?a2x2???anxn所以f?(x)?a1?2a2x???nanxn?1
2n从而f?(1)?a1?2a2???nan=?3?2?1??23?2?1???n(3?2?1)
*an?1?1?2即数列?an?1?是等an?1??n?12n=32?2?2???n?2-?1?2???n?=3?n?1??2???n(n?1)?6 22n2由上2f?(1)?23n?13n?12?n?1??2-122n?n?1= n12?n?1??2n?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)??2?(2n?1)??①
????当n?1时，①式=0所以2f?(1)?23n?13n； 当n?2时，①式=-12?0所以2f?(1)?23n?13n
22