3Gr11?2sin?(?)] L1?cos?cos? 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcot?.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).
对A点,有力矩平衡TAC?N1AD?3G(r?2rsin?)
张力. [答案：T??式中AD?r/tan,AC?Lcos?
23Gr11?2sin?有上述四式可行T?(?).
L1?cos?cos?
18. 一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩
擦因数分别为?1、?2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
1??1?2（答案：??tan?1）
2?1 解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为?， 则有f1=?1N1, f2=?2N2（同时达到最大，与上题有区别） 水平方向：?1N1=N2，竖直方向：?2N2+N1=G， 得：G=?2N2+N2/?1------?
L取A点为转轴：Gcos??LN2sin??L?2N2cos??0-----?
21??1?21??1?2解得tan??，即??tan?1。
2?12?1 解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）
则有：tan?1=?1,tan?2=?2，
BCDH?DEDHDE11有几何关系：tan??????cot?1?tan?2，
AC2AH2AH2EB221??1?2可解得：??tan?1。
2?1
三、平衡的种类
1.平衡的种类:稳定平衡；随遇平衡；不稳定平衡。
2.判断平衡种类的方法：力矩比较；支持面判断；重心升降。
19. 粗细均匀、长为L、密度为?的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水的密度为
?L） ??,??>?),则木杆浸没水中的长度至少为多少时，木杆才能竖直. （答案：??LL? 力矩比较：竖直的条件是恢复力矩L?S??g?sin?=LS?g?sin?，
22?L 木杆浸没水中的长度至少为得L????20. 边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,如
图所示,假定静摩擦力很大,足以阻止立方体下滑,试证明物体的稳定平衡的条件为r>a/2.
解法1，支持面判断：a作微小转动时,均匀立方体与圆柱面接
6
触点移动的距离等于弧长=r?,此时重力垂线与均匀立方体底交点移动的距离=
atan?。注意：作微2小转动??0，tan??sin???，且弧长等于弦长。
aa稳定平衡的条件为r?>tan?,得r>。
22 解法2，重心升降法（最常见的解法）：设均匀立方体的重心为O ?，原来与球面的接触点为A，转过一个微小角度?后的接触点为B。
注意：圆心角、弦切角和切线间的夹角关系。
acos?O?A的高度为：; AB的高度为：r?sin?; OB的高度为：rcos?.
2acos?a稳定平衡的条件：+ r?sin?+ rcos?--r>0,
22a?22?当?很小时：sin?=?，cos?=1?2sin。代入上式得：r>。 ?1?22221. 如图所示，一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别
为a、b，且长轴的长度为c，蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡，若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡，半球形碗
c?a的半径应满足什么条件？（答案：R?b）
c?a?b 重心升降：因蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡，说明重心在O1处，重心离蛋的尖端的距离为c-a。
把半球形碗的球心记为O，使蛋转过一个微小的角度?，蛋与碗的接触点为A,有数学知识易知，O、O2、A三点共线，设OA与竖直线的夹角为?，则有：R?=b?-----?
设蛋的尖端为B，最低点为C，半球形的碗的最低点为D，半径为R,A点比B点低,比C点高。 则O1B的高度为：（c-a）cos(?-?)
???BC的高度为：b(?-?)sin(弦切角等于圆心角的一半)
2??CA的高度为：b?sin, AD的高度为:R? sin
22?????稳定条件：（c-a）cos(?-?)+b(?-?)sin-b?sin+R?sin-(c-a)>0--?
222?2?2当?很小时：cos?=1-、sin?=?。有??式，得：(R-b)[(c-a-b)R-b(c-a)]<0 22c?a因R>b,所以(c-a-b)R c?a?b四、流体静力学： 1、流体对接触面的压力与接触面垂直。 2、浮力的大小等于上下压力差。 22 如：大气压强为P气体对半球面的压力F=?PR（不是2?PR）。 22. 如图所示,有一质量为m、半径为r的半球放在盛有密度为?的液体的 容器底部,它与容器底部紧密接触(即半球表面与容器底面间无液体),液体的深度为H.求半球对容器底部的压力. 2r32 [答案：F=?g?(Hr-)+mg+P0?r，P0为大气压强] 32 解:液体对半球的压力可等效于:若液体对半球底有向上的压力,则向上的压力与向下的压力差等于浮力, 32?r3222r则F向下=F向上-F浮=?gH?r-?g?=?g?(Hr-), 332r3所以半球对容器底的压力F=F向下+mg=?g?(Hr-)+mg. 32 7 2r32 [若要考虑大气压强,则F=?g?(Hr-)+mg+P0?r]. 32 23. 如图所示,质量为m的碗反扣在装满水的较大密闭容器底部.碗 外形是半径为R、高也为R的圆柱,碗内是一个半径同样是R的半球空穴而成碗.在碗内装满水银.现将水从容器底部的出口慢慢抽出.求：（1）水面的高度H等于多少时,碗内水银开始从碗口下边流出. （2）容器内的水全部抽出时，碗内的水银高度h为多少。 (已知：水银的密度为?1,水的密度为?2,高为H、半径为R的的球缺体积为V??H2(R?汽压力) [答案：（1）H?R(1??1m3m3)?；（2）] h?3?2??1??2R2H)，不计水蒸3 解(1)碗受四个力作用:水银对碗的托力F1、水对碗底的压力F2、容器对碗的支持力N、碗的重力mg(因碗封口,外部的水压不能传给碗内的水银), 当N=0时,水银开始流出,有F2+mg=F1. 水银对碗的托力F1的求法可等效于:把碗放在高为R、宽也为R的水银中的浮力, 332?R所以F1=?1g（?R-）=V碗?1g. 3?2?R3m有?2g(H-R)?R+mg=?1g?R-?1g?,得：H?R(1?1)?. 33?2??2R22 3 解（2）容器内的水全部抽出时，F1=?1gV=mg. 2R?h1体积V??R2h?[?R3??(R?h)2(R?)]??h3。 333解得碗内的水银高度h?33m??1。 24. 在圆椎形筒内盛有两种密度分别为ρ1和ρ2的液体,(ρ1<ρ2),如图所示.当这两种液体均匀混合后, 液体对筒底的压强怎样变化?(与原来比较) （答案：压强减小） 解: 原来液体对筒底的压强P2=?1h1g+?2h2g. 设?为平均密度,则液体对筒底的压强P2=?hg=?(h1+h2)g; S?SS1和S2为上下两种液体的平均截面；S为液体混合后的平均截面（不能取S?大小）。 2则混合后液体的体积不变:hS=h1S1+h2S2---(1) 混后液体的质量不变:ρhS=?1h1S1+?2h2S2---(2) 有(1)和(2)得(?2-?)h2S2=(?-?1)h1S1,因S1>S2,所以(?2-?)h2>(?-?1)h1, 于是得到?(h1+h2) 用定性分析:上下混合后与筒底对应的圆柱部分的液体的密度减小,因混合后液体的体积和质量都不变,即总深度不变,所以压强液体对筒底的压强减小. 五、综合题例 25. 一支蜡烛浮在水面上,且始终保持竖直,露在水面上部分的长度为h.已知水的密度为?,蜡烛的密度为 ??(且?? ?h（答案：） (????)a26. 一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问： (1)这个物体的质量小于何值时,三个物体平衡将破坏? 8 (2)这个物体的质量大于何值时,三个物体平衡将破坏?不考虑滑轮的质量和摩擦. （答案：(1)m?23kg；(2) m>6Kg） 解(1)因所挂的质量m越小,所以O点靠近A点,OB趋向水平,OA与水平面有夹角。 对O点受力平衡：(mg)2?(2g)2?(4g)2,得m?23kg。 即当m?23kg时,三个物体平衡将破坏. (2)m越大,OB和OA都趋向于竖直,所以当m>6Kg时三个物体平衡将破坏. 27. 如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一 端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N） 解:木块静止时弹力为10N，可得杆重G=20N L1向左拉时:N1Lcos?+?N1Lsin?=Gcos?,或N1?sin?=Gcos?-N1cos? 22L1向右拉时:N2Lcos?=?N2Lsin?+Gcos?,或N2?sin?=N2cos?-Gcos? 22两式相比得 910?9?,得N2=11.25N N2N2?1028. 半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE 悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.已知悬点A到球心的距为L,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角?. [答案：?=arcsin M2R] L(M1?M2) 解:球受重力M1g,AD绳受拉力为T,ACE压力为N, 因重力M1g通过圆心,N也通过圆心（但不是不平方向）, 所以T也通过圆(三力共点)，OA=L. 取整体为研究对象对A点的力矩平衡,M1gOB=M2gBC, 或M1gLsin?=M2g(R-Lsin?),得?=arcsin M2R. L(M1?M2)29. 有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为10Kg.现有一较大的西瓜,超过此秤的量程.店员A找到另 一秤砣,与此秤的秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起进行称量,平衡时双砣位于6.5Kg刻度处.他将此读数乘以2得13Kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客.店员B对这种称量结果表示怀疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得8Kg,用店员A的双秤砣法称量,得读数为3Kg,乘以2后得6Kg.这证明了店员A的办法是不可靠的.试问,店员A卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多少? （答案：15Kg） 解:设秤砣的质量为m0，C点为秤纽与秤杆连接点,秤盘到秤纽的距离为d,零刻度O点到C点的距离为L0（在秤纽里，左边L0为负值）, 则秤盘和秤杆重力对C点的力矩大小为m0L0. 秤物体时，有力矩平衡：mgd+m0gL0=m0g(L0+x), x=dm/m0?m,刻度均匀（不一定从C点开始）。为方便，设每千克间距为? , 当秤质量为m的物体时读数为m 1:mgd+m0gL0=m0g(L0+?m1)，得 m1?mgd?m0gL0L0? 。 m0g??mgd?m0gL0L0? 。 2m0g??当双秤砣秤质量为m时读数为m2，mgd+m0gL0=2m0g(L0+?m2)，得m2?实际质量与双称砣称得质量2倍的差为?m=m1-2m2=L0/?=常量， 对同一秤与质量无关,与O位置有关。有B店员得?m=2Kg,实际质量为m=2m2+?m=15Kg. 30. 半径为R的钢性光滑球固定在桌面上,有一个质量为m的均匀弹性绳圈,自然长度为2?a(a= 9 R).现将2 绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这时绳圈的半径增为 b(b=2a),求绳圈的倔强系数. [答案：K?(2?1)mgT?.] ?x2?2R 解:F为水平方向(如图A),对一小段绳研究： b?2a?2R/2,???450,则F?tan??mg??mg, 竖直投影(如图B),F=2Tsin因???0,所以F?2T?又因为 ??, 2??2??mg,T??mg, ??mg?mm,所以T?, ???2?2?2RR?2?, 22(2?1)mgT?. 所以绳圈的倔强系数：K??x2?2R31. 半径为r,质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无 盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为?=3/15(约等于0.775).问R取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? 弹簧伸长?x?2?[答案：(23323?1)r?R?(?1)r.] 333 解：当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势, 互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示. 对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N2sin?-3f2soc?=mg----? （或下面的小球，对球与筒接触点为转轴， 力矩平衡N2rsin?+mgr=f2r(1+cos?)） 再对四个小球为整体,在竖直方向3f1=4mg-----------? 下面的小球,对球心为为转轴，有力矩平衡条件f1r=f2r，得f1=f2----? 对下面的小球,取f1和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N1>N2,故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R最大时：f2=?N2--------------? 112 有上述四式得：128soc?+24cos?-77=0,解得：cos?=, 16323211?1)r。 因cos??，所以R?(3r/(r?R)?33316但上面的小球不能太小,否则上球要从下面三个小球之间掉下去,必须使R?(故得(23323?1)r?R?(?1)r. 33323?1)r. 3 10