第1讲集合
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a?（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：
； ?B（或A?B）
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A子集，记作AB； （2）简单性质：1）A
A；若b不是集合A的元素，记作b?A；
?A；2）??A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n
个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，A
?S，则，CS={x|x?S且x?A}称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1）4．交集与并集：
CS(CS)=A；2）CSS=?，CS?=S
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集
A?B?{x|x?A且x?B}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
并集A?B?{x|x?A或x?B}
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：
（1）（2）
A?A?A,A????,A?B?B?A;
A???A,A?B?B?A;
?(A?B);
（3）(A?B)（4）（5）
A?B?A?B?A;A?B?A?B?B
， CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB）
。 CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）【典例解析】 题型1：集合的概念
例1．（2009广东卷理）已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和
N?{xx?2k?1,k?1,2,?}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
( )
A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个 答案 B 解析 由
1,3?，有2个，选B. M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??2A??0,2,a?,B??1,a?,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为 ( )
例2．(2009山东卷理)集合
A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1∴a?4,故选D. ,2,4,16?∴?a?4?2题型2：集合的性质 例3．(2009山东卷理)集合
2A??0,2,a?,B??1,a?,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1∴a?4,故选D. ,2,4,16?∴?a?4?21.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 A．{2} B．{3}
2
（ ）
C.{－3，2} D．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）． 解：由题知可解得A={y|y>a+1或y
2
2
2
2
2
?a?2?a?2由?，得?
2?a?3或a??3?a?1?4∴aa24a2+1 ??3或3?a?2.
??3或3?a?2.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为
即A∩B＝φ时a的范围为a?a|a?2或?例4．已知全集S求出
3?a?3?.
注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，
x，若不存在，说明理由
A?{0}；
A，即x3?x2?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2
解：∵CS∴0?S且0?当
x?0时，2x?1?1，为A中元素； x??1时，2x?1?3?S x?2时，2x?1?3?S
x??1或x?2。
当
当
∴这样的实数x存在，是另法：∵CSA?{0}
A，3?A
∴0?S且0?∴∴
x3?x2?2x＝0且2x?1?3 x??1或x?2。
x?0时，2x?1?1”不能满足集合中元素的
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当
互异性。此题的关键是理解符号CSA?{0}是两层含义：0?S且0?A。
变式题：已知集合
解：由
A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq2}，其中m?0,且A?B,求q的值。
A?B可知，
2（1）??m?d?mq?m?2d?mq，
?m?d?mq2或（2）?
?m?2d?mq解（1）得q?1， ?1,或q??1， 2解（2）得q又因为当q?1时，m?mq?mq2与题意不符， 1。 2所以，q??题型3：集合的运算
例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数
f(x)?x?1的定义域集合是A,函数
x?2g(x)?lg[x2?(2a?1)x?a2?a]的定义域集合是B
（1）求集合A、B （2）若A?B=B,求实数解 （1）A＝
a的取值范围．
?x|x??1或x?2?
B＝
?x|x?a或x?a?1?
?a?1?2
?a??1?（2）由A?B＝B得AB，因此?所以?1?a?1,所以实数a的取值范围是??1,1?
例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合
A??1,3,5,7,9?,B??0,3,6,9,12?,则AICNB?( )
A.
?1,5,7? B.?3,5,7? ?1,3,9? D.?1,2,3?
A?CNB??1,5,7?，选A
C.
答案 A 解析 易有
题型4：图解法解集合问题
2y2?xy??x???1?，N=?y|??1?，则M?N? 例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=?x|?32??94?
（ ）
A．?
B．{(3,0),(2,0)}
C．
??3,3?
答案 C
D．
?3,2?
例8．设全集??R，函数f(x)?lg(|x?1|?a?1)(a?1)的定义域为A，集合B?{x|cos?x?1}，若
(C?A)?B恰好有2个元素，求a的取值集合。
解：|x?1|?1?a?0?|x?1|?1?a
a?1时，1?a?0∴x??a或x?a?2
∴
A?(??,a?2)?(?a,??)
cos?x?1,?x?2k?，∴x?2k(k?z)
∴B当a?{x|x?2k,k?z}
?1时，C?A?[a?2,?a]在此区间上恰有2个偶数。
?a?1???2?a?0 ?a??a?2??4?a?2??2?题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|
2x?1<1}，若A?B，求实数a的取值范围。
x?2解：由|x－a|<2，得a－2
2x?1x?3<1，得<0，即－2 x?2x?2?a?2??2因为A?B，所以?，于是0≤a≤1。 a?2?3?