计数原理02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．求二项式(3x－
2x)的展开式中：
15
(1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项．
30?5r2rrrrrr315?r6(?1)2Cx(?1)C(x)()1515【答案】展开式的通项为：Tr+1= x =
630?5r6C15 (1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，即常数项为T7=2； 630?5r5 (2)设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数，∴r为6的倍数，
66又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．
5(3) 5-r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项．
6
2．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？
(2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？
(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）
42342【答案】 (1)A6?360 (2)A2?A5?120 (3)A4?C5?240
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2．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为
11C2?C3?6种；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为
11C4?C3?12种；
11?C2?8第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C4种；
2?12种； 第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A4由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。
3．（1）已知(x+1)6(ax-1)2的展开式中含x3的项的系数是20,求a的值。
(2）设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，求展开式中二项式系数最大的项。
【答案】（1）0或5（2）依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0,2n＝16＝24，n＝4，得6
4．已知 (x?124x)n的展开式前三项中的x的系数成等差数列．
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① 求展开式里所有的x的有理项；
② 求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1) n=8, r=0,4,8时，即第一、五、八项为有理项，分别为
x4,35x1,. 28256x35x. 8 (2）二项式系数最大的项为第五项：
5．男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中选5人外出比赛,下列情形各有多少种选派方法(结果用数字作答).
⑴男3名,女2名 ⑵队长至少有1人参加
⑶至少1名女运动员 ⑷既要有队长,又要有女运动员
2【答案】⑴从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C36C4＝120 (种）
⑵从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有
234C12C8＋C2C8＝140＋56＝196 (种）
⑶从10名运动员中选5人参加比赛，其中至少有1名女运动员参加的选法有
5C10－C56＝2461 (种）
⑷从10名运动员中选5人参加比赛，既要有队长又要有女运动员的选法有
554C10－C8－C5＝191 (种）
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