1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，课外阅读资料或自主学习体系安排 1995 2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009 3. http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数 这节课我们主要学习了化二次型为标准形的三种方法以及二次型规范型的课后小结
概念，课后加强化二次型为标准形的练习 。
《线性代数》教案
任课教师 授课时间 授课题目 （章节） 教学目的、要求（教学目标） 教学重点 与难点 教学方式、方法与手段 内容要点 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A之二次型f?XTAX, (1) 如果对任何非零向量X, 都有 XTAX?0 （或XTAX?0） 授课班级 教学时间安排 1 2学时 第三节 正定二次型 ⑴ 了解正定二次型的概念 ⑵ 掌握正定二次型的判断方法 正定二次型的判断方法 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合 理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟 提问：实二次型f(x1,x2,…,xn)为么？ 成立，则称f?XTAX为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定的定义是什教学基本内容 正定矩阵（负定矩阵）. 及过程 (2) 如果对任何非零向量X, 都有 XAX?0 （或XAX?0） TT 成立，且有非零向量X0，使X0TAX0?0，则称f?XTAX为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）. 注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 二、正定矩阵的判别法 定理1 设A为正定矩阵,若A≌B(A与B合同),则B也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵D?diag(d1,d2,?,dn)正定的充分必要条件是di?0(i?1,2,?,n). 定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A为正定矩阵的充分必要条件A的正惯性指数p?n. 定理5 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C, 使A?CTC.即A与E合同。 推论1 若A为正定矩阵, 则|A|?0. 定理6 秩为r的n元实二次型f?XTAX, 设其规范形为 222z12?z2???z2p?zp?1???zr 则 (1) f负定的充分必要条件是p?0,且r?n. (即负定22二次型,其规范形为f??z12?z2) ???zn (2) f半正定的充分必要条件是p?r?n. (即半正定2二次型的规范形为f?z12?z2???zr2,r?n) (3) f半负定的充分必要条件是p?0,r?n. (即f??z?z???z,r?n) (4) f不定的充分必要条件是0?p?r?n. (即21222r222f?z12?z2???z2p?zp?1???zr) 定义2 n阶矩阵A?(aij)的k个行标和列标相同的子式 ai1i1ai2i1?aiki1ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik???aikik(1?i1?i2???ik?n) 称为A的一个k阶主子式.而子式 a11a|Ak|?21?ak1a12a22?ak2?a1k?a2k???akk(k?1,2,?,n) 称为A的k阶顺序主子式. 定理7 n阶矩阵A?(aij)为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式|Ak|?0(k?1,2,?,n). 注：(1) 若A是负定矩阵，则?A为正定矩阵,。 (2) A是负定矩阵的充要条件是：(?1)k|Ak|?0,(k?1,2,?,n). 其中Ak是A的k阶顺序主子式. (3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价: a. 对称矩阵A是半正定（半负定）的; b. A的所有主子式大于（小于）或等于零； c. A的全部特征值大于（小于）或等于零. 三、正定矩阵的应用 利用正定二次型，我们可以得到一个判定多元函数极值的充分条件： 设X?(x1,?,xn)，n元函数f(X)在X0的某邻域内有连续的二阶偏导数，则由f(X)的二阶偏导数构成的矩阵： ?f11(X)??f(X)H(X)??11???f(X)?11f11(X)f11(X)?f11(X)????f11(X)??f11(X)? ???f11(X)??称之为赫斯(Hess)矩阵. 设X0为f(X)的驻点，由多元泰勒(Taylor)公式可知有如下判别法： 1. 若H(X0)为正定或半正定矩阵，则f(X0)为f(X)的极小值； 2. 若H(X0)为负定或半负定矩阵，则f(X0)为f(X)的极大值； 3. 若H(X0)为不定矩阵，则f(X0)不是极值； 例题选讲 二次型有定性的概念 22例1 二次型f(x1,x2,?,xn)?x12?x2???xn, 当X?(x1,x2,?,xn)T?0时, 显然有 f(x1,x2,?,xn)?0, 所以这个二次型是正定的,其矩阵En是正定矩阵. 22例2 二次型f??x12?2x1x2?4x1x3?x2?4x2x3?4x3,将其改写成 f(x1,x2,x3)??(x1?x2?2x3)2?0, 当x1?x2?2x3?0时, f(x1,x2,x3)?0,故f(x1,x2,x3)是半负??1?12???定,其对应的矩阵??1?12?是半负定矩阵. ?22?4???2例3 f(x1,x2)?x12?2x2 是不定二次型,因其符号有时正有时负, 如 f(1,1)??1?0,f(2,1)?0. 正定矩阵的判别法 例4 当?取何值时, 二次型f(x1,x2,x3)为正定. 22. f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?4x1x3?2x2?6x2x3??x3例5判别二次型f(x,y,z)为负定. f(x,y,z)??5x2?6y2?4z2?4xy?4xz. 例6 证明: 如果A为正定矩阵, 则A?1也是正定矩阵. 例7 设某企业用一种原料生产两种产品的产量分别为x,y单位，原料消耗量A(x??y?)单位(A?0,??1,??1)，若原料及两种产品的价格分别为r,P1,P2(万元/单位)，在只考虑原料成本的情况下，求使企业利润最大的产量. 221.设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?2x3?2tx1x2?2x1x3, 试确定当t取何值时, 作业与 课外训练 f(x1,x2,x3)为正定二次型. 2222.判别二次型f(x1,x2,x3)?2x1?4x2?5x3?4x1x3是否正定. 1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出课外阅读资料或自主学习体系安排 版社，1995 2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009 3. http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数 课后小结 这节课我们主要学习了正定二次型的概念及其判断方法。