三、解答题（本大题有5小题，满分40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．本小题主要考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值等基础知识；考查简单的推理、探究和基本运算能力．满分6分． 解法一：（1）由已知得，点P是角α的终边与单位圆的交点，
∵y?44,∴sin??y?.…………………………………………………………(3分) 5543，∴cos??x?. 55（2）能.………………………………………………………………………………(4分) ∵x?∴sin(?4??)?sin?4cos?.?cos?4sin?………………………………………（5分）
?2324??? 252572.…………………………………………（6分） 1034，PM=， 55?
解法二：（1）如图过P作PM垂直x轴于M，∴在Rt⊿POM中，OM=
∴OP=OM2?PM2?1.…………………………（1分）
PM4?.………………………………（2分） OP54又∵α的终边与∠POM的终边相同，∴sin??.………………（3分）
5∴sin∠POM=
（2）能.………………………………………………………………（4分） 由已知α是第一象限的角，且由（1）知sin??下同解法一
解法三：（1）∵α的终边过点P（
432，∴cos??1?sin??. 55343242，），|OP|=()?()?1，………（1分） 555544∴sin??5?.………………………………………………………………（3分）
15（2）同解法一或解法二
22. 本小题主要考查等差数列和等比数列的有关概念，等差数列的通项公式和前n项和公式；考查简单的推理论证能力和基本运算能力．满分8分． 解：（1）设数列{an}的公差为d，那么5a1+
1·5·4d=15. ……………………（2分） 2
把a1=-1代入上式，得d=2.……………………………………………………（3分） 因此，an=-1+2（n-1）=2n-3.……………………………………………………（4分）
16
（2）根据bn?2n，得b1=
a1，b2=2，b3=8.………………………………………（5分） 2由此推测{bn}是等比数列.………………………………………………………（6分） 证明如下：
a?abn?1由（1）得，an+1-an=2，所以， ?2n?1n?22?4（常数）
bn因此数列{bn}是等比数列.………………………………………………………（8分） 23. 本小题主要考查直线与圆的方程，圆的几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识；考查逻辑推理能力和运算能力；考查数形结合思想在解决问题中的应用．满分8分．
解法一：（1）∵O（0，0），A（6，0），圆C以线段OA为直径，
∴圆心C（3，0），半径r=3，……………………（2分） ∴圆C的方程为（x-3）+y=9.…………………（4分）
2
2
（2）?直线l1的方程是x?2y?4?0,?直线l1的斜率为，
121又?l2//l1,?直线l2的斜率为 …………………（5分）
21设直线l2的方程为y?x?b,即x?2y?2b?0．
2?MN?4,半径r?3,?圆心C到直线l2的距离为5．………………………（6分）
又?圆心C(3,0)到直线l2:x?2y?2b?0的距离d?3?2b5．………………（7分）
?3?2b5?5,即3?2b?5,解得b?1或b??4．
即直线l2的方程为x?2y?2?0或x?2y?8?0． ………………………（8分）
解法二：（1）同解法一
?直线l1的方程是x?2y?4?0,且l1//l2,?直线l2的斜率为．（2）……………（5分）
设直线l2的方程为y?121x?b, 21??y?x?b由?得5x2?4(b?6)x?4b2?0． 2?(x?3)2?y2?9?设M(x1,y1),N(x2,y2),则
17
4(6?b)?x?x?,?125?4b2? ………………………………………………（6分） ,?x1?x2?5????0.???MN?(x1?x2)2?(y1?y2)2 145?(1?)[(x1?x2)2?4x1x2]?9?3b?b2，………………（7分）
45又?MN?4,即459-3b?b2?4,解得b?1或b??4． 5即直线l2的方程为x?2y?2?0或x?2y?8?0．………………………（8分）
24.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质，直线与直线、直线与平面平行的判定与性质；考查空间想象能力，逻辑推理、论证能力和利用知识分析问题、解决问题能力．满分8分．
(1) 证明：在?ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,
?AB2?AC2?BC2,?AC?AB．…………………………………………（1分）
又PA?平面ABC,AC?平面ABC,?PA?AC ．………………………（2分） 又PA?AB?A,?AC?平面PAB．………………………（3分）
而PB?平面PAB,?AC?PB．………………………………………………（4分）
(2)解：存在，且G是棱PA的中点．……………………………………………（5分） 证明如下:
在?PAB中，F、G分别是AB、PA的中点,?FG//PB． …………………（6分） 同理可证：DE//PB,?FG//DE.……………………………………………（7分） 又FG?平面ADE,DE?平面ADE,?FG//平面ADE.………………………（.8分）
18
PGEAF 25.本小题考查平均数的概念，一次函数与二次函数等有关知识；考查统计观念，数据分析和数学建模能力，利用知识解决实际问题的能力．满分10分． 解：（1）设平均日销售利润为M，则
BDCM?(15?10)?165?(35?10)?105?(45?10)?75?(50?10)?60?(65?10)?15
5………………………………………………………………………………………（2分） =165+5?105+7?75+8?60+11?15
=1860．……………………………………………………………………………（3分） （2）依题意画出散点图，根据点的分布特征，可考虑以y=kx+b作为刻画日销售量与销售单价之间关系的函数模型，取其中的两组数据（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：
?75?45k?b,?k??3, 解得，………………………………………………（5分） ??15?65k?b.b?210.??这样，得到一个函数模型为y=-3x+210(10≤x≤70)．………………………（6分） 将其他已知数据代入上述解析式知，它们也满足这个解析式，即这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求的函数解析式能较好地反映销售量与销售单价之间的关系．…………………………………………………………………………………（7分） （3）设经营此商品的日销售利润为P元，由（2）知
P?xy?10y………………………………………………………………………（8分）
?x??3x?210??10??3x?210???3?x?40??2700,(10?x?70)2……………………………………………（9分）
?x?40时，P有最大值，为2700.
即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．…………………………………………………………………………………（10分）
19