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∠POC=?,在△POC中,由余弦定理得CP2=OP2+OC2-2OP·OC·cos?=16+4-2×
334×2×1=12,所以CP=23. 2【答案】 23. 13. （2013·陕西高考文科·Ｔ15） 是 .
【解题指南】消去参数t即可得抛物线方程，求其焦点坐标.
?x?t2.?y2?4x?抛物线的焦点F(1,0). 【解析】??y?2t?x?t2圆锥曲线??y?2t (t为参数)的焦点坐标
【答案】 (1, 0). 二、解答题
14.（2013·辽宁高考文科·Ｔ23）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ23）相同 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆C1，直线C2的极坐标方程分别为??4sin?,?cos(??)?22.
4(?)求C1与C2的交点的极坐标；(??)设P为C1的圆心，Q为C1与C2的交点连线的中?x?t3?a,点，已知直线PQ的参数方程为??b3(t?R为参数).求a,b的值。
?y?t?1?2?【解题指南】 利用极坐标和直角坐标的互化关系，将不熟悉的极坐标转化为熟悉的直角坐标来探究.
【解析】(?)由??x2?y2,?cos??x,?sin??y得， 圆C1的直角坐标方程为x2?(y?2)2?4 直线C2的直角坐标方程分别为x?y?4?0
?x2?(y?2)2?4,?x1?0,由?解得?x?y?4?0.?y1?4,??x2?2, ?y?2,?2- 6 -
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所以圆C1，直线C2的交点直角坐标为(0,4),(2,2)
再由??x2?y2,?cos??x,?sin??y，将交点的直角坐标化为极坐标(4,),(22,)24??所以C1与C2的交点的极坐标(4,),(22,)
24(??)由(?)知，点P，Q的直角坐标为(0,2),(1,3)
??故直线PQ的直角坐标方程为x?y?2?0 ① 由于直线PQ的参数方程为
?x?t3?a,??b3(t?R为参数). ?y?t?1?2消去参数y?bx?ab?1 ②
22?b?1,??2对照①②可得? ??ab?1?2.??2解得a??1,b?2.
15. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ23）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）相同
?x?4?5cost,已知曲线C1的参数方程为? （t为参数），以坐标原点为极点，x轴
y?5?5sint,?的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【解析】将??x?4?5cost消去参数t，化为普通方程(x?4)2?(y?5)2?25,
?y?5?5sint即C1：x2?y2?8x?10y?16?0.
?x??cos?将?代入x2?y2?8x?10y?16?0得 ?y??sin?- 7 -
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?2?8?cos??10?sin??16?0.
（Ⅱ）C2的普通方程为x2?y2?2y?0.
22??x?1?x?0?x?y?8x?10y?16?0由?22，解得?或?. ??y?1?y?2?x?y?2y?0所以C1与C2交点的极坐标分别为(2,)，(2,)
4??216.（2013·江苏高考数学科·Ｔ21）在平面直角坐标系xOy 中, 直线l的参数
?x?2tan2??x?t?1方程为?(t 为参数),曲线C 的参数方程为? (?为参数).试求直线
?y?2t?y?2tan?l和曲线C的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.
【解题指南】选把参数方程转化为普通方程再利用普通方程求解，主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 考查转化问题的能力
?x?t?1【解析】因为直线 l 的参数方程为?(t 为参数), 由x = t+1 得t = x-1, 代
y?2t?入y = 2t, 得到直线l 的普通方程为2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为y2= 2x.
?y?2(x?1)联立方程组?2 ,
y?2x?解得公共点的坐标为(2, 2), (, -1).
17.（2013·江苏高考数学科·Ｔ21）已知a?b>0, 求证:2a3?b3?2ab2?a2b 【解题指南】本小题主要考查利用比较法证明不等式,利用作差法分解因式与0比较.
【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)= 2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-b2)(2a+b) = (a-b)(a+b)(2a+b).
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因为 a?b>0, 所以 a-b?0, a+b>0, 2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b) ?0, 即2a3?b3?2ab2?a2b
18.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为???2,??直线l的极坐标方?，
4?程为?cos(???)?a，且点A在直线l上。
4（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）圆C的参数方程为???x?1?cosa,(a为参数)，试判断直线
?y?sinal与圆C的位置关系.
【解析】（Ⅰ）由点A(2,)在直线?cos(??)?a上，可得a?2 44?所以直线l的方程可化为?cos???sin??2 从而直线l的直角坐标方程为x?y?2?0
（Ⅱ）由已知得圆C的直角坐标方程为(x?1)2?y2?1 所以圆心为(1,0)，半径r?1 以为圆心到直线的距离d?2?1，所以直线与圆相交 219.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ23）与（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）相同
?x?2cost ?t为参数? 上，对应参数分别为t=α 已知动点P，Q都在曲线C：?y?2sint?与t=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点. （1）求M的轨迹的参数方程.
（2）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数?表示出点M的坐标，可得参数方
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程.
(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.
【解析】（1）依题意有P?2cos?,2sin??,Q?2cos2?,2sin2??,因此
M?cos??cos2?,sin??sin2??.
?x?cos??cos2??为参数，0???2?? M的轨迹的参数方程为???y?sin??sin2?（2）M点到坐标原点的距离
d?x2?y2?2?2cos?,?0???2??.
当???时，d?0，故M的轨迹过坐标原点.
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