图1
图1中，曲线表示在非均匀介质中传播的任意一条光线路径。曲线上任意一点P（x,y,z）的位置矢量r，当沿曲线移动ds距离后，位置矢量的变化量为dr=Sds,所以
（2.6）
将（2.6）式代入（2.5）式得：
（2.7）
讲（2.7）写成分量形式为：
（2.9）
式中
将（2.9）的第一式进行s全微分，因为x,y,z是s的函数，所以
（2.10）
将（2.9）代入（2.10）得：
（2.11）
利用程函方程，上式又可写为：
对于y,z分量，也可用同样的方法，归纳结果得到下式：
（2.12）
式（2.12）的右边表示折射率的变化量，因为d r/d s是沿路径的单位矢量S，所以左边表示沿路径的单位矢量的变化，即路径的弯曲量。
2.2.2梯度折射率光纤中的轨迹
利用（2.12）式就可求得光线在梯度折射率光纤中德传播路径。但该方程大多数情况下很难求解，但根据梯度折射率光纤本身的特性和一些近似，可以将方程简化。
首先设光线近轴入射，对这条光线可用d x代替d s。在梯度折射率光纤中，折射率n与x无关，折射率的变化仅发生在光纤横截面内沿半径r方向上，而且在通过光纤中心轴线x轴的任何一个截面内，n沿半径方向的变化情况都相同，所以只需取某一个界面，取y ,z 截面进行讨论即可。
在y ,z 界面内，n 仅随y 而变化，可用y 代替r。在此条件下，（2.12）式可化简为：
即
（2.13）
梯度折射率光纤的折射率分布式（2.1）可表示为：
将上式对y求偏导数，得：
（2.14）
将(2.14)代入（2.13）得：
对于近轴光线，可认为n1=n,因此，上式可写为：
（2.15）
此微分方程的通解为：
（2.16）
（2.16）式即为在梯度折射率光纤中，位于过对称轴X轴的平面内的近轴光线的轨迹方程。
图2
公式中B ，C由入射光线的位置坐标和方向确定。
假设光线通过坐标原点O入射，如图2所示，将x=0,y=0代入公式（2.16）得，B=0，因此近轴光线在梯度折射率光纤中的轨迹方程为：
（2.17）
第三章 matlab模拟光线传播
由以上讨论可知,光线在梯度折射率光线中的传播轨迹为正弦函数。以下为仿真模拟结果：
由于在纤芯内折射率是从纤芯中心向两边递减的，使得靠近纤芯中心的光线的传播速度快，远离纤芯中心的光线的传播速度慢。
结论分析
梯度型折射率光纤的纤芯中心到玻璃包层的折射率是逐渐变小的，可使高次模的光按正弦形式传播，这能减少模间色散，提高光纤带宽，增加传输距离，这解决了阶跃光纤存在的弊端，但成本较高，现在使用的多模光纤多为梯度型光纤。
参考文献
[1]胡玉禧，安连生.应用光学，中国科技大学出版社，1996年9月第一版 [2]郁道银主编. 工程光学，机械工业出版社,2006年1月第2版 [3]王辉，王平，于虹. 光纤通信. 北京：电子工业出版社，2009，1 [4]郭玉斌. 光纤通信技术. 西安：西安电子科技大学出版社，2008，9 [5]胡先志. 光纤与光缆技术. 北京：电子工业出版社，2007，1
[6]蔡旭辉主编.matlab基础与应用教程，北京人民邮电出版社，2009年8月