1111－1
(2)由于bn＝anlog2an＝－n·()n，∴Tn＝－[1·＋2·()2＋…＋(n－1)·()n1＋n·()n]，
222221111＋1111
于是Tn＝－[1·()2＋…＋(n－1)·()n＋n·()n1]，两式相减得：Tn＝－[＋()2＋…＋()n－
2222222211
·[1－??n]22Tn＋21n11＋1＋1
n·()n1]＝－＋n·()n1，∴Tn＝(n＋2)·()n－2.∴＝()≥，解得n≤4， 2122216n＋2
1－2∴n的最大值为4.
1??S－17. 在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2＝annn2. ??Sn(1)求Sn的表达式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
2n＋1
1?1?2??解 (1)∵S2n＝anSn－2， an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，∴Sn＝(Sn－Sn－1)Sn－2， ????
11
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
SnSn－1
?1?1111∴数列?S?是首项为＝＝1，公差2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
S1a1Sn?n?2n－1
1Sn111111
(2)∵bn＝＝＝?2n－1－2n＋1?，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－233?2n＋1?2n－1??2n＋1?2?1?1111?n
1－)＋…＋(－)]＝＝.
52?2n＋1?2n＋12n－12n＋1
πππ18. (2014·重庆改编)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，223且图象上相邻两个最高点的距离为π.
π
(1)求ω和φ的值； (2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．
2
2π
解 (1)f(x)图象上相邻两个最高点距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
Tπππππ
又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，由－≤φ<得k＝0
33222π2πππ
所以φ＝－＝－.综上，ω＝2，φ＝－. 2366
ππππ5πππ
(2)由(1)知f(x)＝3sin(2x－)，当x∈[0，]时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝，即x＝时，
62666623ππ3
f(x)最大＝3；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－.
662思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数； π
φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
2
(2) 对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．
ππ
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
22π
19.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线
2π
x＝是其图象的一条对称轴． 6
ππ
(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．
1212解 (1)∵最小正周期为π.∴
2ππ
＝π.即ω＝2.又∵直线x＝是函数图象的一条对称轴， ω6
πππππ
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又∵φ∈(0，)，∴φ＝.又∵A＝2，
62626π∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
6
πππππππ
(2)g(x)＝f(x－)－f(x＋)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝
12121261263πππππ5
2sin(2x－)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.
32321212π5
即函数g(x)的单调递增区间是 [kπ－，kπ＋π]，k∈Z.
1212π
20. 已知函数f(x)＝cos x·cos(x－)．
3
2π1
(1)求f()的值； (2)求使f(x)<成立的x的取值集合．
342π2ππππ11
解 (1)f()＝cos·cos＝－cos·cos＝－()2＝－. 3333324
π131313
(2)f(x)＝cos xcos(x－)＝cos x·(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝(1＋cos 2x)＋sin 32222441π111π11πππ
2x＝cos(2x－)＋.f(x)<等价于cos(2x－)＋<，即cos(2x－)<0，于是2kπ＋<2x－<2kπ
234423443233π5π11π15π＋，k∈Z.解得kπ＋ ＋，k∈Z}． 12 1π 21. 已知函数f(x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为. 22(1)求f(x)的表达式； π (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 8π 坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有 2 一个实数解，求实数k的取值范围． cos 2ωx＋1113π 解 (1)f(x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin(2ωx＋)， 22226π2ππππ 由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)． 22ωω26ππ (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有 83π 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x 3ππππ2π3 －)，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以g(x)∈[－，1]又g(x)＋k＝0在区间[0，323332ππ ]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]上有且只有一个交点，由22正弦函数的图象可知－值范围是(－ 3333 ≤－k<或－k＝1，解得－ 33，]∪{－1}． 22