序的，即表达式右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆称为有序分拆。
2.6.1 有序分拆
k?1定理2.6.1 正整数n的有序k分拆的个数为Cn?1。
证明：正整数n分成k个分部量的一个有序分拆 n?n1?n2???nk 等价于方程
x1?x2???xk?n
的正整数解(n1,n2,?,nk)。由定理2.3.4即得结论。
注： 由定理2.3.4和定理2.6.1知，正整数n的有序k分拆数等于多重集合
k?1M?{??a1,??a2,?,??ak}的a1,a2,?,ak至少出现一次的n组合数均为Cn?1。
定理2.6.2 （1）正整数n的有序k分拆，要求第i个分部量大于等于pi，其个数为
k??n?k?p?1?i??。
i?1????k?1??k?1（2）正整数2n分拆成k个分部，各分部量都是正偶数的有序分拆个数为Cn?1。
（3）正整数n分拆成k个分部，若n与k同为奇数或同为偶数，则n的各分部量都是奇
?n?k??1?数的有序分拆数为?2。
???k?1?
2.6.2 无序分拆
k?1定理2.6.1 正整数n的有序k分拆的个数为Cn?1。
证明：正整数n分成k个分部量的一个有序分拆 n?n1?n2???nk 等价于方程
x1?x2???xk?n
的正整数解(n1,n2,?,nk)。由定理2.3.4即得结论。
用B(n,k)表示n的k分拆的个数，用B(n)表示n的所有分拆的个数。显然 （1）B(n,k)?0(k?n)； （2）B(n)??B(n,k)。
k?1n
定理2.6.1 n的k分拆数B(n,k)满足递推关系 B(n?k,k)?B(n,1)?B(n,2)???B(n,k) 及B(n,1)?1,B(n,n)?1。
例1 正整数n的2分拆数为
?n?B(n,2)???
?2?n?n?其中，??表示小于等于的最大正数。
2?2?
定理： 周长为2n，边长为整数的三角形的个数等于n的3分拆数。
证明： 设n的一个3分拆为n?x?y?z，则 2(x?y?z)?(x?y)?(x?z)?(y?z)?2n， 其中，(x?y)?(x?z)?2x?(y?z)?y?z，
同理，(x?y)?(y?z)?x?z，(x?z)?(y?z)?x?y。 因此x?y,x?z,y?z可组成一个三角形，且周长为2n。
反之，设一个三角形的周长为2n，其三条边长a,b,c是整数，则
a?b?cn?，
2设x?n?a,y?n?b,z?n?c，显然x,y,z都是正整数，而 x?y?z?n?a?n?b?n?c?3n?(a?b?c)?n， 所以x?y?z是n的一个3分拆。证毕。
2.6.3 分拆的Ferrers图
设n的一个k分拆为
n?n1?n2???nk(n1?n2??nk)(2.6.8)
在一条水平直线上画n1个点，在其下面一条直线上画n2个点，且使这两条直线上的第一个点在同一条竖线上，其他点依次与上一行的点对齐；依次类推，最后在第k条直线上画nk个点，第一个点与前面各行的第一个点均在同一条竖线上，其他点依次与上面各行的点对齐。这样得到的点阵图称为n的k分拆（2.6.8）的Ferrers
图。
例 15的4分拆15=5+5+3+2的Ferrers图为 ?????
????? ??? ?? 反过来，对于n的一个Ferrers图，又可按照上述规则对应于n的唯一的一个分拆。所以，n的分拆同它的Ferrers图之间是一一对应的。
把一个Ferrers图的各行改成列，但其相对位置不变，这样又得到一个Ferrers图，称为原Ferrers图的共轭图。
如前述例子中的15的4分拆的Ferrers图的共轭图为
????
???? ??? ?? ??
定理2.6.4 正整数n的k分拆的个数等于n的最大分部量为k的分拆数。
定理2.6.5 正整数n的自共轭分拆的个数等于n的各分部量都是奇数且两两不等的的分拆的个数。
定理2.6.6 正整数n的分部量两两不等的分拆的个数等于n的各分部量都是奇数的分拆的个数。
第七节 分配问题
分配问题的叙述是：把n个球放到r个盒子里，共有多少种不同方案？ 本问题的解答须考虑三个方面的因素： 1、n个球是完全相同的还是完全不同的； 2、n个盒子是完全相同的还是完全不同的； 3、是否允许有空盒。
n个球 不 同 不 同 不 同 不 同 相 同 相 同 相 同 相 同 分配方案数表 r个盒子 允许空盒? 不 同 允 许 不 同 不允许 相 同 相 同 不 同 不 同 相 同 相 同 允 许 不允许 允 许 不允许 r分配方案数 rn r!S(n,r) ?S(n,i)i?1rS(n,r) nCn?r?1 r?1Cn?1 允 许 不允许 ?B(n,i)i?1B(n,r)
例1 桥牌时，52张牌分发给4个人，每人13张，问每人有一张A的概率是多少？
解： 每人有一张A的概率是 (13!)4?48!?4!?10.55%。 4(12!)?52!
例2 (x?y?z)4的展开式有多少项？
?4?3?1?解： 共有N????15项。分别为
4??x4,x3y,x3z,x2yz,x2y2,x2z2,xy3,xz3,xyz2,xy2z,y2z2,y3z,z3y,y4,z4。
例3 会议室中有2n+1个座位，现排成3排，要求任何两排的座位都要占大多数。问有多少种排法。
例4 把4个相同的橘子和6个不同的苹果放到5个不同的盒子里，问每个盒子里有2个水果的概率有多大？
本章小结：
从上面所学内容，我们可以看到，计数问题最本质的处理方法就是配对与分组。分组不难理解，而所谓配对法就是若想计算某集合A的元素个数A，其关键是寻找一个既能与A建立一一对应又便于计数的集合B。因此，配对法实质上是一种转换
法，它把求A的问题转化为求B的问题。至于寻找合适的集合B，往往需要相当的技巧。