从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为
11 （结果用最简分数作答）. 2112.若正方形ABCD的边长为1，且AB?a,BC?b,AC?c,则3a?2b?6c? 5 . 13.已知复数z1,z2满足z1?1，?1?Rez2?1，?1?Imz2?1，若z?z1?z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12?? . 14.x?R，用记号N?x? 表示不小于实数的最小整数，例如N?2.5??3，N?2??1，N?1??1；则函数f?x??N?3x?1??2x?1的所有零点之和为 ?4 . 2??二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）
15. a,b,c表示直线，?表示平面，下列命题正确的是（ D ） A.若a//b，a//?，则b//? B. 若a⊥b， b⊥?，则a⊥?
C. 若a⊥c，b⊥c，则a//b D.若a⊥?，b⊥?，则a//b
16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 17. 在(x?2n*)(n?N)的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开x2式中的常数项是（ B ）
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
?1?2?????a?n,1a1,2a2,2an,2a1,m??a2,m?中第i行、第j列的元素，??an,m??13；②418.已知m,n,i,j均为正整数，记ai,j为矩阵An?m且ai,j?1?ai,j?1，2ai?2,j?ai?1,j?ai,j（其中i?n?2，j?m?2）；给出结论：①a5,6?na2,1?a2,2??a2,m?2m；③an?1,m?an,m2?3m?1?????④若m为常数，则liman,m?.其中正确
n??3?2?的个数是（ B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，四棱锥E?ABCD的体积为线BE与B1A1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：a?2,直线BE与B1A1所成的角的大小为arctan
B- 6 -
A1B1A4，求异面直3D1ED5. 2C1C
20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数f?x??cos2x，g?x??1?3sinxcosx. 2（1）若直线x?a是函数y?f?x?的图像的一条对称轴，求g?2a?的值； （2）若0?x??2，求h?x??f?x??g?x?的值域.
解：（1）f?x??cos2x?其对称轴为
1?cos2x， 2k?,k?Z， 22x?k?,x?因为直线线x?a是函数y?f?x?的图像的一条对称轴， 所以a?k?,k?Z， 213131?sin2x，所以g?2a??g?k????sin?2k??= 22222又因为g?x??1. 2(2)由（1）得 即g?2a??13h?x??f?x??g?x??cos2x?sin2x?122
????sin?2x???16?????7?????1??1??x??0,?,?2x???,?,sin?2x?????,2?
6?66?6??2??2???1?2. 所以h?x?的值域为?，?2??
21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数f(x)?2x的反函数为f?1(x)
（1）若f?1(x)?f?1(1?x)?1，求实数x的值；
（2）若关于x的方程f(x)?f(1?x)?m?0在区间?1,2?内有解，求实数m的取值范围； 解：（1）x??9?（2）?3,?.
?2?
2 3- 7 -
22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）
如图，射线OA,OB所在的直线的方向向量分别为d1??1,k?，d2??1,?k??k?0?，点P在?AOB内，PM?OA于M，PN?OB于N；
?31?（1）若k?1，P?,?，求OM的值；
?22?（2）若P?2,1?，?OMP的面积为
6，求k的值； 51，当P变化时，求OT的取值范围. kyAMP（3）已知k为常数，M,N的中点为T，且S?MON?解：（1）2； （2）k?11或2； 2ONBx（3）设M?x1,kx1?,N?x2,?kx2?,T?x,y?，x1?0,x2?0，k?0， 设直线OA的倾斜角为?，则k?tan?,sin2??2k，根据题意得 1?k2x1?x2?x??2y??x?x?k?x1?x2?1???y??k? ??2y??x?x?22??OM?x11?kk??2??ON?x21?k代入S?MON?11OMONsin2??2k
1??化简得动点T轨迹方程为k2x2?y2?1?x??.
k???OT?x2?y2?x2?k2x2?1??1?k?x22?1??1?k?k1221?1=
k1?1?1当且仅当x?,T?,0?时，OT取得最小值.
k?k?k?1?所以，OT的取值范围是?,???.
?k?
23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
?1?已知数列?an?的前n项和为Sn，且an?0，an?Sn????n?N*?
?4?n（1）若bn?1?log2?Sn?an?，求数列?bn?的前n项和Tn；
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（2）若0??n??2111（3）记cn?a1??a2??a3??222，2n?an?tan?n，求证：数列??n?为等比数列，并求出其通项公式；
?an?1，若对任意的n?N*，cn?m恒成立，求实2数m的最大值.
解：（1）bn?1?2n,n?N* (2)由2n?an?tan?n得an?ntan?n2n
?1?*a?S?n?N??nn??代入?4?
得Sn?111?n?1，当n?2时，an?Sn?Sn?1?n，
2tan?n2tan?n?12tan?nntan?n?tan??tan2?，代入上式整理得，0?????n?1nn2n2
?n1??0的常数. 所以?n?1?2?n,?n?12因为an?1??1?当n?1时，a1?S1,a1?a1???,an?0?a1?,tan?1?1,?1?24 ?4?所以数列??n?是等比数列，首项为
1?，公比为，其通项公式为
24?1??n????4?2?n?1?1??????2?n?1,n?N*
1?tan,n?N*，它是个单调递减的数列， nn?1221111所以 an?a1?,an??0?an???an,
2222（3）由（2）得an?cn?a1??n?Sn2111?a2??a3??222?an?12
对任意的n?N*，cn?m恒成立，所以m??cn?min. 由cn?1?cn?n?1?n?1?Sn?1???Sn???an?1?0知，cn?1?cn 2?2?2所以数列?cn?是单调递增的，cn最小值为c1?0，m??cn?min?0 因此，实数m的取值范围是???,0?,m的最大值为0.
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