拉格朗日中值定理的应用
王康
（吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系，山西吕梁汾阳市，032200）
摘要：拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，在微分中值定理中以及高等数学中承上启下，有着广泛的应用。文章从定理的实质分析入手，讨论了拉格朗日中值定理的应用。
关键词：拉格朗日中值定理；应用；不等式；极限；级数收敛 中图分类号：O172.1 文献标识码 A 0 引言
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：
特例 推广 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒公式 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。 总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，我们必须深刻认识定理的内容，熟练掌握定理的本质，以便更好的应用。 1 拉格朗日中值定理的内容及几点理解
鉴于文章的完整性的考虑，将定理叙述如下：
定理[1] 如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点?，a???b，使得f/(?)?f(b)?f(a)成立。
b?a王康（1982--），男，山西省芮城县人，吕梁学院汾阳师范分校助教，山西师大教育硕士在读，研究方向：代数与几何方向
定理的几何解释以及各种表达形式内容在教科书上已有，不再赘述。这里仅仅谈几点我对拉格朗日中值定理的一点理解。
1.1 中值?必然是无法求出的，但定理却断言其存在，并且有可能不唯一，因而是有其重要的理论意义，是高等数学中许多定理赖以证明的工具。 如果把等式f/(?)?的存在性。
1.2 众所周知，在利用拉格朗日中值定理证明一些具体问题的时候，选取或构造适当的辅助函数是我们的一个难点。
f(b)?f(a)这一分式的特点为突破口来构造辅助函数f(x)，
b?af(b)?f(a)并确定取值范围(a，b)，进而求出导函数f/(x)。为了出现分式，我
b?a1?x?ln(1?x)?lnx。 们常常需要进行一些有效的变形，比如，lnxf(b)?f(a)看作方程，?的存在性可以用来说明方程根
b?a我们可以抓住
我们也可以根据等式的左边f/(x)这一特点来构造辅助函数，然后写出相应的
f/(?)g(?)?f(?)g/(?)分式进行解答。比如f(?)g(?)?f(?)g(?)可以变形为，2g(?)//取辅助函数F(x)?f(x)。再如f/(?)?f(?)g/(?)可变形为eg(?)[f/(?)?f(?)g/(?)] g(x)取辅助函数F(x)?eg(x)f(x)等等[2]。
1.3 要深刻理解?是区间(a，b)内的一点，但不确定具体位置，我们可以利用?的范围a???b，根据导函数f/(x)来推导出f/(?)的范围。然后确定分式的范围，来达到证明不等式的目的。 2 拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的应用广泛，可用于计算、证明、估算、判定等，在应用中灵活性较大，下面从证明不等式、求极限、判别级数敛散性等三个方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究。 2.1 利用拉格朗日中值定理证明(不)等式
在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数f(x)和区间(a，b)，通过?的范围，根据导函数f/确定f/(?)和分式的范围，得证。
例1[3].
x?yxx?y，0?y?x ?ln?xyyx1lnx?lny1?lnx?lny，所以要证原不等式可变形为?? yxx?yy1111.由于0?y???x，故?f/(?)??，xx?y证明：由于ln取辅助函数f(x)?lnx，有f/(x)?所以，
11lnx?lny1?f/(?)???，得证。 x?x?yy例2. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点?，使得bf(b)?af(a)?(b?a)[f(?)??f/(?)]?0
分析：要证的等式是关于固定点a，b以及中间值?的关系式，将其按含?的表达式和含端点a，b的表达式分离变形，即得
bf(b)?af(a)?f(?)??f/(?).等
b?a式的左端可知辅助函数F(x)?xf(x).在求导后F/(?)?f(?)??f/(?)是吻合的. 2.2 利用拉格朗日中值定理求极限
在有些求极限问题当中，用常规方法很难入手，但是运用拉格朗日中值定理却可以迎刃而解，尤其是一些比较复杂的分式的极限计算问题。
n9例3. lim10 10n???n?(n?1)解：分母是两式相减的情形，可构造f(x)?x10，f/(x)?10x9，易知函数在区间(n?1，n)上是符合定理条件的，所以n10?(n?1)10?10?9，其中n?1???n，
n9n91当n???时，????.所以lim10 ?lim?109n???nn???10?(n?1)10?2.3 利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性
在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在(N，N?1)各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断。
例4. 证明调和级数1?111??????的敛散性 23n分析与证明：可去辅助函数为f(x)?lnx，在区间(N，N?1)上符合拉格朗日中值定理的要求，则存在一点??(N，N?1)，使ln(N?1)?lnN?故有ln2?ln1?1，ln3?ln2?1?1. N?111，ln4?ln3?，……，ln(n?1)?lnn?， 23n11111所以ln(n?1)?1?????,由于limln(n?1)???，所以Sn?1????，
n??23n2nlimSn???，即调和级数是发散的.
n??3 结束语
在高等数学中，拉格朗日中值定理所涉及到的应用领域十分丰富。不仅内容广泛，而且方法灵活多样，的确是一个需要认真学习与研究的领域。本文限于篇幅，涉及的内容不多，主要侧重技能与方法的研究。但是无论问题如何千变万化，全面的思考总是有助于提高我们的思维能力，也有助于创新意识的培养。 参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001 [2]李国成.浅谈利用微分中值定理解题的方法和技巧[J]，成都教育学院学报.2009.7 [3]刘玉琏.数学分析（第二版）（上册）[M].北京：高等教育出版社，1994.10
The Application of Lagrange’s mean value theorem
WANG Kang
（The Math and Science Department of Lvliang College Fen Yang Teacher's school，ShanXi LvLiang，032200）
Abstract: The Lagrange’s mean value theorem is communication function and its derivative bridge, has a wide range of applications. This paper, analyzed the essence of the theorem, discussed the application of the Lagrange’s mean value theorem.
Keywords:Lagrange’s mean value theorem; APPlication;Inequality; Limit; Convergence of series
联系方式：wangkang0528@163.com 15536478859
详细通讯地址:山西省汾阳市文峰路8号汾阳师范学校 032200 作者简介
王康（1982.5—），男，汉，山西省芮城县，助教，学士学位，代数与几何方向