第二章 随机过程分析
1.1 学习指导 1.1.1 要点
随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数
如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤ x1 ]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为
F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤ x1] (2-1)
如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为
?F1(x1,t1)?f1(x1, t1) (2 - 2)
?x1
对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤ x1和ξ(t2) ≤ x2同时成立的概率
F2(x1, x2; t1, t2)?P??(t1)?x1, ?(t2)?x2? (2 - 3)
称为随机过程? (t)的二维分布函数。如果
?2F2(x1,x2;t1,t2)f2(x1,x2;t1,t2)? (2 - 4)
?x1??x2存在，则称f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程? (t)的二维概率密度函数。
对于任意时刻t1，t2，…，tn，把
Fn(x1，x2，，xn；t1，t2，，tn)?P??(t1)?x1,?(t2)?x2,称为随机过程? (t)的n维分布函数。如果
,?(tn)?xn? (2 - 5)?nFn(x1，x2，，xn；t1，t2，，tn)fn(x1，x2，，xn；t1，t2，，tn)? (2 - 6)
?x1?x2?xn存在，则称fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)为随机过程? (t)的n维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。
随机过程? (t)在任意给定时刻t的取值? (t)是一个随机变量，其均值为
E??(t)???xf1(x, t)dx (2 - 7)
???其中，f 1(x, t)为? (t)的概率密度函数。随机过程? (t)的均值是时间的确定函数，记作a(t)，它表示随机过程? (t)的n个样本函数曲线的摆动中心。
随机过程? (t)的方差的定义如下：
D[?(t)]?E?[?(t)?a(t)]2? (2 - 8)
随机过程? (t)的方差常记作σ2(t)。随机过程? (t)的方差的另一个常用的公式为
22?D?ξt?Eξt?2atξt?a??????????t??????2?E[ξ2(t)]?2a?t?E??ξ?t????a(t)
?E[ξ2(t)]?a2(t)=????x2f1(x,t)dx?a2(t) (2 - 9)也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t，对于均值a(t)的偏
离程度。
随机过程? (t)的相关函数的定义如下：
R(t1,t2)?E[?(t1)?(t2)]???????122??xxf(x1,x2;t1,t2)dx1dx2 (2 - 10)
式中， ? (t1)和? (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。随机过程? (t)的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
随机过程? (t)的协方差函数的定义如下：
B(t1,t2)?E?[?(t1)?a(t1)][?(t2)?a(t2)]? ?????????[x1?a(t1)][x2?a(t2)]f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2 (2 - 11)
式中，a(t1)、a(t2)分别是在t1和t2时刻得到的? (t)的均值；f2 (x1, x2; t1, t2)是? (t)的二维概率密度函数。
B(t1, t2) 与R(t1, t2)之间有如下关系式：
B(t1,t2)?R(t1,t2)?a(t1)a(t2) (2 - 12)
若a(t1) = a(t2)=0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)。
随机过程? (t)和η(t)的互相关函数的定义如下：
Rξη(t1,t2)?E[?(t1)?(t2)] (2 - 13)
4. 平稳过程及其性质 平稳过程包括严平稳过程（强平稳过程或狭义平稳过程）和广义平稳过程。如果随机过程?(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数?，有
fn(x1,x2,,xn；t1,t2,,tn),tn??) (2 - 14) ?fn(x1,x2,,xn；t1??,t2??,
则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。 严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关，二维分布函数和自相关函数都只与时间间隔有关。
把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有
关的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)。因此，在求解各种统计平均时，无需无限多次的样本，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算大为简化。 平稳过程?(t)的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对。据此，可以得到两条结论：平稳过程?(t)的功率等于其自相关函数在零点的取值R(0)；各态历经过程任一样本函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。 5. 高斯过程
高斯过程又被称为正态随机过程。如果随机过程?(t)的任意n维（n =1, 2, ...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，其n维正态概率密度函数表示式为
fn(x1,x2,...,xn; t1,t2,...,tn)??1nn?xj?aj??xk?ak ?exp?|B|jk????n????2|B|?j?1k?1?jk????|B|??ii?1?2π??n/2???? (2 - 15) ???其中，数学期望ak = E[ξ(tk)]；方差σ2k = E[ξ(tk) - ak]2；归一化协方差矩阵行列式
1
b121b1nb2n1,bjk?|B|?b21E???(tj)?aj????(tk)?ak????j?k
如果高斯过程在不同时刻不相关，则它们也是统计独立的。高斯过程经过线性系统后，其系统输出也是高斯过程。
6. 窄带随机过程
如果随机过程?(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围?f 内，即满足?f << fc的条件，且 fc 远离零频率，则称其为窄带随机过程。
随机过程?(t)可以表示为
bn1bn2?(t)?aξ(t)cos[?ct??ξ(t)],aξ(t)?0 (2 - 16)
其中，a?(t)为随机包络；??(t)为随机相位；?c为中心角频率。显然，a?(t)和??(t)的变化相对于载波产生的相移(?ct)的变化要缓慢得多。
将窄带随机过程表示式展开为
?(t)??c(t)cos(?ct)??s(t)sin(?ct) (2 - 17)
其中，ξc(t) = aξ(t)cos[υξ(t)]；ξs(t) = aξ(t)sin[υξ(t)]。?c(t)和?s(t)分别被称为同相分量和正交分量。
窄带随机过程?(t)的统计特性可以由a?(t)和??(t)或?c(t)和?s(t)的统计特性确定。若?(t)的统计特性已知，则a? (t)和?? (t)或?c(t)和?s(t)的统计特性也随之确定。
由于?(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E[?(t)] = 0 ，所以
E[?c(t)]?0，E[?s(t)]?0 (2 - 18)
若窄带过程?(t)是平稳的，则?c(t)和?s(t)也是平稳的。 平稳窄带随机过程?(t)的自相关函数可以表示为
Rξ(?)?Rc(?)cos(?c?)?Rcs(?)sin(?c?)?Rc(?)cos(?c?)?Rsc(?)sin(?c?) (2-19)
一个均值为零的窄带平稳高斯过程?(t)，它的同相分量?c(t)和正交分量?s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的?c(t)与?s(t)是统计独立的。
a?服从瑞利(Rayleigh)分布，??服从均匀分布。 7. 高斯白噪声和带限白噪声
电子系统中常见的热噪声近似为白噪声，白噪声的幅值服从高斯分布。因此，在通信系统中，常用高斯白噪声作为信道中的噪声模型。白噪声通过一个有限带宽的信道或滤波器后，输出噪声的带宽就是有限的，如果其频谱在信道或滤波器的通带内仍具有白色特性，则称其为带限白噪声。
白噪声n(t)的功率谱密度在所有频率上均为常数，即
Pn(f)?或者
n0 f?(??,??) (2 - 20) 2Pn(f)?n0 f?(0,??) (2 - 21)
其中，n0为正常数。式(2 – 20)是白噪声n(t)的双边功率谱密度，式(2 – 21)是其单边功率谱密
度。
白噪声n(t)的自相关函数为
R(?)?n0?(?) (2 - 22) 2上式表明，白噪声仅在τ = 0时才相关，而在任何两个不同时刻的随机变量都是不相关的。
如果白噪声幅值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
带限白噪声一般包括低通白噪声和带通白噪声。如果白噪声通过理想低通滤波器或理想低通信道时，则其输出的噪声被称为低通白噪声；如果白噪声通过理想带通滤波器或理想带通信道时，则其输出的噪声被称为带通白噪声。
1.1.2 难点
随机过程分析的难点主要包括平稳随机过程通过线性系统后的分布函数、概率密度函数和数字特征。
设平稳随机过程?i(t)的均值、自相关函数和功率谱密度分别为ai、Ri(t)和Pi(f)，系统单位冲激响应和传输函数分别为h(t)和H(f)。
输出随机过程ξo(t) 的均值为
??E??o(t)??E??h(?)?i(t??)d????h(?)E??i(t??)?d????-??-? ??aih(?)d??ai?h(?)d??aiH(0) (2 - 23)-?-???
式中，H(0)是线性系统H(f)在 f = 0处的频率响应。由此可见，输出过程的均值是一个常数。
输出随机过程ξo(t)的自相关函数为
Ro(t1,t1??)?E[?o(t1)?o(t1??)]?? ?E??h(?)?i(t1??)d??h(?)?i(t1????)d?????????? ???? ?????????h(?)h(?)E[?i(t1??)?i(t1????)]d?d?h(?)h(?)Ri(?????)d?d??Ro(?) (2 - 24)
???? 上式表明，随机过程ξo(t)的自相关函数仅是时间间隔?的函数。综合上面两点，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。
输出随机过程ξo(t)的功率谱密度为
Po(f)??Ro(?)e?j??d??????? ????h(?)h(?)Ri(?????)d?d??e?jωτd?????????????'??????
?????h(?)ej??d???h(?)e?j??d???Ri(?)e?j??'d?'????2?? =H*(f)?H(f)?Pi(f)?H(f)Pi(f) (2 - 25) 由上是式可见，输出随机过程ξo(t)的功率谱密度等于输入随机过程?i(t)的功率谱密度乘
以系统传输函数模值的平方。
随机过程ξo(t)可以表示为
?o(t)??h(?)?i(t??)dz?lim?????k?0??(t??ik?0?k)h(?k)??k
当?i(t)是高斯分布的时，ξi(t - ?k)h(?k)Δ?k是一个高斯随机变量，而无限个高斯随机变量的叠加也是一个高斯分布的。因此，随机过程ξo(t)呈高斯分布。
1.2习题详解
2-1 设随机过程{ X(t) = Acos(ωt) + Bcos(ωt), -∞ < t < ∞ }， ω为常数，A、B为互相独立的随机变量，且E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) =σ2。试判断X(t)是否为平稳过程。
解 E?X(t)??E?A?cos(?t)?E?B?sin(?t)?0，
R(t,t??)?E?X(t)X(t??)? ?E??Acos(?t)?Bsin(?t)?[Acos(?t???)?Bsin(?t???)]?22 ?E??A???Acos(?t)cos(?t???)??E??B???sin(?t)sin(?t???)? +E?AB??cos(?t)sin(?t???)?sin(?t)cos(?t???)? ??2?cos(?t)cos(?t???)?sin(?t)sin(?t???)? ??2cos(??)
因此，X(t)的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，它是平稳过程。 2-2 离散白噪声{ X(n), n = 0, ± 1, ± 2, … }，其中，是X(n)是两两不相关的随机变量，且
2
E[X(n)] = 0, D[X(n)] =σ。试求X(n)的功率谱密度。