再OA中垂线上，xM?1，
再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后
根据BF?HF，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设F(c,0)，由
113c113c，即??，可得a2?c2?3c2，又??|OF||OA||FA|caa(a?c)2x2y2?1. a?c?b?3，所以c?1，因此a?4，所以椭圆的方程为?432222（2）（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（k?0），则直线l的方程为y?k(x?2).设B(xB,yB)，由方程组
?x2y2?1??，消去y，整理得(4k2?3)x2?16k2x?16k2?12?0. 3?4?y?k(x?2)?8k2?68k2?6?12ky?x?解得x?2，或x?，由题意得，从而. BB2224k?34k?34k?39?4k212k,).由BF?HF，得由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，BF?(24k?34k2?39?4k29?4k212kyH?2?0，解得yH?.因此直线MH的方程为BF?HF?0，所以212k4k?34k?319?4k2y??x?.
k12k?19?4k220k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?.在?MAO中，k12k消去y，解得xM?212(k?1)?y?k(x?2)?20k2?9?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即?1，解212(k?1)22M2M2M得k??66或k?. 4466]?[,??). 44所以，直线l的斜率的取值范围为(??,?考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】
（20）
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：f'(x)?3(x?1)?a，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当a?0时，有f?(x)?0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(??,?).②当a?0时，存在三个单调区间
22（Ⅱ）由题意得(x0?1)?af(x1)?f(x0)及单调性可得结论（Ⅲ）实
，计算可得f(3?2x0)?f(x0)再由3|f(3a3a|,|f(?)|33的大小即可，分三种情况研究①
，
②
当
质研究函数g(x)最大值：主要比较f(1),f(?1)，
当
a?3时，
1?3a3a?0?2?1?333?a?34时，
1?323a3a3a23a3a3a，③当0?a?时，0?1??0?1??1??2?1??1??2.
433333332试题解析：（Ⅰ）解：由f(x)?(x?1)?ax?b，可得f'(x)?3(x?1)?a. 下面分两种情况讨论：
（1）当a?0时，有f'(x)?3(x?1)?a?0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(??,??). （2）当a?0时，令f'(x)?0，解得x?1?23a3a，或x?1?.
33当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f'(x) f(x) (??,1?＋ 3a3a3a3a3a3a (1? (1?) 1?,1?) 1?,??) 3333330 极大值 － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(1?3a3a3a3a,1?)，单调递增区间为(??,1?)，(1?,??). 33332（Ⅱ）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（Ⅰ）知a?0，且x0?1，由题意，得f'(x0)?3(x0?1)?a?0，即(x0?1)?2a， 3
2aax0??b. 338a3(1?x0)?2ax0?3a?b 又f(3?2x0)?(2?2x0)?a(2?2x0)?b?32aa??x0??b?f(x0)，且3?2x0?x0，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足f(x1)?f(x0)，且
333进而f(x0)?(x0?1)?ax0?b??x1?x0，因此x1?3?2x0，所以x1?2x0?3；
（Ⅲ）证明：设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M，max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当a?3时，1?3a3a，由（Ⅰ）知，f(x)在区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在?0?2?1?33区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)]，因此
M?max{|f(2)|,|f(0)|}?max{|1?2a?b|,|?1?b|} ?max{|a?1?(a?b)|,|a?1?(a?b)|}
?a?1?(a?b),a?b?0，所以M?a?1?|a?b|?2. ??a?1?(a?b),a?b?0?（2）当
323a3a3a23a?a?3时，1?，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，?0?1??1??2?1?4333323a3a23a3a)?f(1?)，f(2)?f(1?)?f(1?)，
33333a3a),f(1?)]，因此 33f(0)?f(1?所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(1?M?max{|f(1??max{|?3a3a2a2a)|,|f(1?)|}?max{|?3a?a?b|,|3a?a?b|} 33992a2a3a?(a?b)|,|3a?(a?b)|} 99?2a23313a?|a?b|???3??. 9944433a3a时，0?1??1??2，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 433（3）当0?a?
f(0)?f(1?23a3a23a3a)?f(1?)，f(2)?f(1?)?f(1?)， 3333学.科网所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)]，因此
M?max{|f(0)|,|f(2)|}?max{|?1?b|,|1?2a?b|} ?max{|1?a?(a?b)|,|1?a?(a?b)|}
?1?a?|a?b|?1. 41. 4综上所述，当a?0时，g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】