项式，记fj(x)??crxr(c0?cm?1)，以lj记x?1时fj(x)根的次数(lj?0)，即：
r?0mfj(x)?(1?x)jgjx(,)其中gj(1)?0，则对Aj按位取反序列Aj的生成函数：
?(p?1)g(x)?r(x)(1?x)jj?,lj?0(1?x)gj(x)?(p?1)fj(x)?(1?x)rj(x)??(p?1)(1?x)gj(x)?rj(x)(1?x)Aj(x)???,lj?1 2(1?x)g(x)fj(x)(1?x)j??lj(p?1)(1?x)gj(x))?rj(x)(1?x)?,lj?2lj?1?(1?x)gj(x)?l?(1?x)fj(x),?1?fj(x),?的极小多项式为： Ajfj(x)??1?x?fj(x),???fj(x),lj?0gj(1)?rj(1)?p,lj?1gj(1)?rj(1)?p,lj?1lj?2
证明 由引理5.3.1和多序列的广义对偶序列的定义可以直接得到。 定理5.3.1设Fp上周期t?维多序列S?(S0,S1,?)?(A1,A2,?,At)的广义对偶多序列S?(S0,S1,?)?(ASi?(a1i,a2i,?,ati)，Aj?(aj0,aj1,aj2,?)，,,A)1,A2?t，其中
Aj?(aj0,aj1,aj2,?)，aji?1?aji，i?0,1,2,?，1?j?t，fj(x)和fj(x)分别表示Aj与Aj的极小多项式。如果：fj(x)?(1?x)jgj(x)，1?j?t，lj?0，其中：gj(1)?0，则：S的极小多项式F(x)与S的极小多项式F(x)存在以下关系：
l?(1?x)F(x),?1?F(x),?F(x)??1?x?F(x),???F(x),证明 由推论5.3.1知
lj?0gj(1)?rj(1)?p,lj?1gj(1)?rj(1)?p,lj?1lj?2
若fj(x)?(1?x)jgj(x)，1?j?t，lj?0，gj(1)?0，则Aj的极小多项式为：
l(),?(1?x)fjx?1?f(x),?fj(x)??1?xj?fj(x),???fj(x),lj?gj(1)?rjgj(1)?rj(1)?p(1)?plj,?lj,?lj?20
11而：F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))，F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))。那么：
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（1）当lj?0时，
F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))
?lcm[(1?x)f1(x),(1?x)f2(x),?,(1?x)ft(x)] ?(1?x)lcm[f1(x),f2(x),?,ft(x)]
?(1?x)F(x)
（2）当gj(1)?rj(1)?p，lj?1时，
F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))
111?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))
1?x1?x1?x?11lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))?F(x) 1?x1?x（3）当gj(1)?rj(1)?p，lj?1时，
F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))
?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))?F(x)
（4）当lj?2时，
F(x)?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))
?lcm(f1(x),f2(x),?,ft(x))?F(x)
从而得证。
推论5.3.2：在上述记号下，
?L(S)?1,?L(S)?1,?L(S)??L(S),???L(S),lj?0gj(1)?rj(1)?p,lj?1
lj?2gj(1)?rj(1)?p,lj?1证明 由引理5.3.1的结论及周期多序列的联合线性复杂度定义可以直接得出结果。
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第六章 总结
6.1 论文工作总结
周期序列的线性复杂度和k-错线性复杂度是度量流密码强度的两个重要指标。本文的研究从最基本的极小多项式开始，首先讨论了F2上的序列S?与其对偶序列S的生成函数，极小多项式和线性复杂度之间的关系.在此基础上进一步探讨了FP上序列S?与其对偶序列S的生成函数，极小多项式和线性复杂度之间的关系；接着在F2上线性复杂度为2n?1的2n?周期二元序列的2-错（或3-错）线性复杂度的已有结论的基础上，更进一步讨论了线性复杂度为2n?1的
2n?周期二元序列的4-错（或5-错）线性复杂度，并计算出相应的期望值，推
??动了周期序列稳定性的进一步研究；以上都是对单序列的线性复杂度和k-错线性复杂度进行了研究，本文最后的部分在以上研究的基础上分别提出了F2和FP上周期多序列的广义对偶序列的定义，讨论了F2上二元周期多序列及其对偶序列的极小多项式之间关系，并计算出它们之间线性复杂度的关系，接下来进一步讨论了FP上p元周期多序列及其广义对偶序列的极小多项式之间的关系，并计算出它们之间线性复杂度的关系。 6.2 结束寄语
本人在学习过程中有以下的想法需要进一步去探讨：
1、针对周期序列及其对偶序列的特殊关系，可以对对偶序列的线性复 杂度和k-错线性复杂度进行相关的研究；
2、在讨论线性复杂度为2n?1的2n?周期二元序列的k?错线性复杂度 （k=4,5）的基础上可以进一步讨论线性复杂度为一般值的情况； 3、探讨其他周期上序列的k?错线性复杂度，并计算出相应的期望值； 4、在本文讨论的基础上可以进一步进行F2上周期多序列及其广义对偶多序列的线性复杂度和k-错线性复杂度相关的研究；
5、在本文讨论的基础上可以进一步进行FP上周期多序列及其广义对偶多序列的线性复杂度和k-错线性复杂度相关的研究；
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