3.4.1 实验原理和功能
信号的频谱描述是以频谱f（?=2?f）为横坐标变量来描述信号幅值、相位的变化规律。
3.4.1.1 周期信号与离散频谱
在有限的区间上的周期函数x(t)可以展开成傅立叶级数。傅立叶级数有两种表达式
1. 傅立叶级数的三角函数展开式：
x(t
?bnsinn?t+?ancosn?t
n?0n?00???a =+?(bnsinn?t+ancosn?t) 2n?1?a=+?sin(n?t+?n) 2n?1An
0式中：a0=
2T???TX(t)dt是直流分量；
an=?X(t)cosn?tdt是余弦分量的幅值；
b2=nT?T?TX(t)sinn?tdt是正弦分量的幅值；
2An=an?bn是各频率分量的幅值；
bn2 ?n=arctanan是各频率分量的相位； ?=
2?是角频率； T以角频率n?为横轴，幅值An或相角?n为纵轴作图，则分别得到幅频谱图
和相频谱图，它们是单边谱，n?由0→∞。
2. 傅立叶级数的复指数函数展开式：
x(t)=
m????cme?jm?t(m=0，?1，?2) (3-1)
式中cm为傅立叶系数。
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又cm=am+jbm=|cm|e?m
j?m (3-2) =+=||cmambmcmej根据欧拉公式ejm?t= cosm?t-j sinm?t，代入式(3-2)可得
am=b1T1=mT12?T1X(t)sinm?tdt=
22211|m|== ?nnn22??TX(t)cosm?tdt=
an
?bncabbmAn?m=arctanam=
?2-?
1T?Tm=0，常值分量c0=a0=
2?X(t)dt
以|cm|-m?和?m-m?作图分别为幅频谱图和相频谱图，它们都是双边谱，m?从-∞→+∞。
3. 周期信号频谱的特点
? 离散性。只在n?离散值上取值或只在m?离散点上取值。 ? 谐波性。每条谱线只出现在基波频率的整数倍的频率上，基波频率是
主分量频率的公约数，相邻谱线间隔为?。
? 收敛性。常见的周期信号幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
由于这种收敛性，实际测量中可以在一定误差允许范围内忽略次数过高的谐波分量。
3.4.1.2 非周期信号与连续频谱
1. 频谱密度函数X(w)
对于非周期信号，可以看作周期T为无穷大的周期信号。当周期趋近无穷大时，则基波谱线及谱线间隔?=
2?趋近无穷小，从而离散的频谱就变成了连续T的，所以非周期信号的频谱是连续的。
傅立叶级数的复指数函数展开式为：
x(t)=
m????cme??jm?t (3-3)
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傅立叶系数
cm =
1T??TX(t)e?jm?tdt (3-4)
当周期T→∞，谱线间隔?=2?/T趋近无穷小，离散量m?( m=0，?1，傅立叶系数cm的模|cm|趋于无穷小，故作不出|cm|-m?的?2,??)变为连续量，
幅频图，但各条谱线比例保持不变。将它放大T倍，则(3-4)变为：
T??limcm=limT??wkiN
因为有?→d?，所以有
d???limcm??2??jm?t=?x?t?edt d???由于时间T是积分变量，故上式积分后，仅是?的函数，并记作X(?)或
F?x(t)?，即
X(?)=F?x(t)?=?????X(t)e?jm?tdt= limd??0cm1 dfX(?)或X(f)表示单位频段的频率分量，是复数，称为x(t)的频率密度函数。 2. 非周期信号的傅立叶积分表示
作为周期T为无穷大的非周期信号，当周期T→∞时，频谱谱线间隔
?→d?，T→
2?，离散变量m?→?变为连续变量，求和运算就变成求积分运d?算。于是(3-3)就变为：
2?1?jm?tx(t)=lim?CmTe= limd???d?T??Tm????????X(?)ej?t=
12??????X(?)d?
这就是傅立叶积分。记为x(t)=F?1?x(?)?。于是就有
X(t)e?j?tX(?)=?????dt d?
x(t)=
将?=2?f带入以上两式，得
1 2????????X(?)ej?t x(t)=
???X(f)ej2?ftdf
X(f)=
?????X(t)e?j2?ftdt
X(?)=2?X(f)
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作| X(?)-?|或|X(f)-f|图，就称为非周期信号的幅值谱密度。
非周期信号用傅立叶级数来表示，其频谱为连续的，它由无限多个频率无限接近的频率成分组成。各频率上谱线幅值趋于无穷小，故用频谱密度表示，它在数值上相当于将分量放大T=2?/d?倍，同时保持各频率分量幅值相对分布规律不变。
3.4.1.3 离散时间信号的频谱
在以计算机为中心的测试系统中，模拟信号x(t)进入计算机前先经过数据采集卡(DAQ)中的采样器，将连续时间信号变为离散时间信号，成为采样信号后再经A/D转换器在幅值上量化为离散的数字信号。这样，就会引起频域上的一些变化。
1. 采样定理
连续时间信号x(t)被数据采集卡(DAQ)中的采样器以等时间间隔T采样，则采样时刻0、T、2T、??所得信号x(t)的瞬时值，就构成了连续信号x(t)的离散时间序列xs(i)，(i=0、1、2??)。采样信号的频谱在幅值上比信号x(t)的频谱X(?)放大了1/T倍，并呈现周期行，周期为
?s
。
采样是把连续时间信号变为离散时间序列的过程。这一过程相当于在连续时间信号上“抽取”许多离散时刻iT(i=0、1、2??)上的信号瞬时值。其中T是采样间隔，率
?s
=2?/T为采样角频率，它们的取值是个很重要的问题。即采样频
?s，必须满足关系：
?式中≥2
s
≥2
?m
?为信号的最高频率分量。当m?≤m?时，也就是采样频率?s=2?/TT?m时，可以通过加一理想低通滤波器提取主分量，滤除全部m≥1的高频分
量，从而由X(?)恢复原信号x(t)在理论上无误差。但是在实际工程中的低通滤波器不可能有理想的低通特性，故采样频率需要更高，通常为如果采样频率
?s=(4～20)
?m。
?s不满足采样定理，谱线就会重叠，即使采用理想低通滤波器也
不可能将混入的高频主分量滤除。
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2. 离散傅立叶变换
当采样点i=0、1、2??N，共有N个，即无限长信号截断后变为周期信号，
2?频谱由连续谱变为离散谱，即?=K(K=0、1、2、??N-1)，于是有离散傅立
NT叶变换(DFT)的定义式如下：
X(K)=?x(iT)ei?0N?1?jk2?in=
?i?0N?1x(i)wN (3-5) X(K)wN (3-6)
?kiki2?11jkix(t= X(K)en=
NNK?0?N?1式中wN=e?jk2?in是复数因子。
欲对连续时间信号x(t)用计算机进行离散傅立叶变换，首先经采样器对它进行采样，满足采样频率为?=?=2?/T(T为采样间隔)，从而获得时间离散的信号
x(t)，它是一个无限长的离散的时间序列?x?iT?? (i=0,1,2,??)。实际上，只能
ss对有限长的信号进行分析与处理，所以必须对无限长离散序列?xs?iT??截断，只取有限长时间tp=NT中的N个有限数据?xs?i?? (i=0,1,2,??)。这样，无限长时间信号x(t)就变成有限长时间信号tp=NT的周期信号。因此，其频谱的特点是具有离散性、谐波性、周期性。
当对信号x(t)进行采样 ，共N个采样点，得离散时间序列x(i) (i=0,1,2,?，N-1)，代入式(3-5)可得离散时间序列的频谱X(K) (k=0,1,2,?，N-1)，共N条谱线，其中有效谱线N/2条；反之，将N条谱线代入式(3-6)，则可得i=0,1,2,?，N-1共N个离散时间序列x(i)。当N=4时，总计需N+N(N-1)=28次运算；当N=1024时，则需要进行2096068次运算。如此多的计算次数使DFT不可能在实际工程中得到应用，因而出现了各种用于减少DFT计算次数的算法。如基2时间奇偶分解算法等。那些能够减少计算次数，缩短计算时间，能在工程实际中用来实现DFT计算的快速算法就称为快速傅立叶变换，简称FFT。在许多软件的工具箱中，已有各种实用函数或功能模板可供使用。LabVIEW就提供了这样的功能模块。
虚拟信号频谱分析仪的功能主要是用来对生成的仿真信号进行FFT变换，获得该时域信号的频谱图。
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