第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
201abc111xyx?yx?yx. （1）1?4?1； （2）bca; （3）abc； （4）y?183caba2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)
?183=?24?8?16?4=?4
abc333（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc?3abc?a?b?c
cab
111222222（3）abc?bc?ca?ab?ac?ba?cb?(a?b)(b?c)(c?a)
a2b2c2
xyx?yx?yx?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 （4）yx?yxy?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3
??2(x3?y3)
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
n(n?1)： 23 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2) (n?1)个 （6）逆序数为n(n?1)
3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2) (n?1)个
1
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．
由于p1?1,p2?3已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
4.计算下列各行列式：
?4?1（1）??10??0解
12511251202120214??21?3?12??； （2）?0??127????50442c2?c310c4?7c3107042361??a?abacae????11????； （3）bd?cdde； （4）?2????0bfcf?ef??2????01b?1001c?10?0?? 1?d??41(1)
100?12302?104?1?104?110022?(?1)4?3=12?2 =122?14103?141031410c2?c3c1?12c3
991000?2=0 171714213?11250423602r4?r202213?11221423402r4?r1 00213?11200423002=0 00213?1(2)
1250
423611c4?c222?abacae?bce?111(3)bd?cdde=adfb?ce=adfbce1?11=4abcdef
bfcf?efbc?e11?1
a?1(4)
001b?1001c?1001?ab0r1?ar2?1b10?1d00a1c?101?aba002?1?1c1 =(?1)(?1)10?1ddc3?dc2
1?abaad1?abad?1c1?cd=(?1)(?1)3?2=abcd?ab?cd?ad?1
?11?cd0?10ax?byay?bzaz?bxxyza2abb23335.证明: (1)2aa?b2b=(a?b); (2)ay?bzaz?bxax?by=(a?b)yzx;
az?bxax?byay?bzzxy1112
a2b2(3)2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0;
(c?3)2(d?3)21111abcd?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); (4)2ab2c2d2a4b4c4d4x?100x?1(5)???000anan?1an?2 证明
?????0000???xn?a1xn?1???an?1x?an. x?1a2x?a1a2ab?a2b2?a22c2?c1ab?ab2?a23?1ab?a(1)左边? ?(b?a)(b?a)2ab?a2b?2a?(?1)12b?a2b?2ac3?c1100?(a?b)3?右边
xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx按第一列ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by (2)左边分开zax?byay?bzxax?byay?bz分别再分xay?bzzyzaz?bxxyzyzx分别再分a2yaz?bxx?0?0?bzxax?bya3yzx?b3zxy zax?byyxyay?bzzxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzx(?1)2?右边
zxyzxya2b2(3) 左边?2cd2a2b2c2d2?(2a?1)?(2b?1)?(2c?1)?(2d?1)abcd4a?44b?44c?44d?4abcd4444(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2c2?c1(c?3)2c3?c1(d?3)2c4?c111114a?44b?44c?44d?46a6b?0 6c6da2b2c2d22a?12b?12c?12d?14a?44b?44c?44d?46a?96b?9
6c?96d?9a2按第二列b222分成二项cd26a?9a26b?9b2?26c?9c6d?9d29a29b2?9c29d211114a4b4c4d6a?96b?9
6c?96d?9c3?4c2a2第一项c4?6c2b2c3?4c2c2第二项c4?9c2d23
1000b?ac?ad?aab?ac?ad?ab2?a2c2?a2d2?a2 (4) 左边?2222222=
ab?ac?ad?ab2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)4444444ab?ac?ad?a111c?ad?a =(b?a)(c?a)(d?a)b?ab2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)100=(b?a)(c?a)(d?a)?b?a c?bd?bb2(b?a)c2(c?a)?b2(b?a)d2(d?a)?b2(b?a)11
(c2?bc?b2)?a(c?b)(d2?bd?b2)?a(d?b)=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)
=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)?(5) 用数学归纳法证明
当n?2时,D2?x?1?x2?a1x?a2,命题成立.
a2x?a1假设对于(n?1)阶行列式命题成立，即 Dn?1?xn?1?a1xn?2???an?2x?an?1,
则Dn按第1列展开:
?10?x?1?Dn?xDn?1?an(?1)n?1???11?所以，对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D?det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得
?00?x00?xDn?1?an?右边 ??1an1?anna1n?annann?a1nD1???， D2??? ，D3???，
a11?a1na11?an1an1?a11证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D,D3?D.
证明 ?D?det(aij)
an1?D1??a11a11?a1na11?a1n?anna21?a2nn?1n?2n?1an1?annann?? ?(?1)(?1)an1??(?1)???a1n??a21?a2na31?a3na11?a1nn(n?1)n?1n?21?2???(n?2)?(n?1)?(?1)(?1)?(?1)???(?1)D?(?1)2D
an1?ann同理可证D2?(?1)n(n?1)2a11?an1n(n?1)n(n?1)T???(?1)2D?(?1)2D a1n?ann4
D3?(?1)
n(n?1)2D2?(?1)n(n?1)2(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D
7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：
a(1)Dn?1?,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；
1axa(2)Dn??aax?a????aa; ?x?(a?n)n?(a?n)n?1??; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． ?a?n?1(3) Dn?1an(a?1)nan?1(a?1)n?1???aa?111an?(4) D2n?0bn0a1b1c1d1?0??0; dncn(5)Dn?det(aij),其中aij?i?j;
1?a1111?a2(6)Dn???11解
?1?1,其中a1a2?an?0.
???1?ana00(1) Dn??010a0?0000a?00??????000?a0100 ?0a00a?0000?0?????000?a1a0 0?(?1)2n?a??a(n?1)(n?1)0(n?1)?(n?1)0a按最后一行展开(?1)n?10?0(再按第一行展开)
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