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[s(1??)n22]个数大于
?sn．
?s证明：定义A?{j1?j?n,jx?，A为A中元素的个数，由柯西不等式得：}nn2s??x??x??x?iiii?1i?A?iAA??iiAx???iiAx?A?sn?，nA?所以ns(1??)n22，故原命题成立．
３．平面上n（n不为平方数）个点A1,A2,?,An，设??max{AiAj}min{AiAj}，求证：??22[n]
证明：固定d?max{Ai,Aj}．不妨设A1A2?d，分别过A1,A2作半径为d的圆，再过A1,A2分别作切线l1,l2，则存在A1,A2,?,An均在l1,l2之间．再过每个点作垂直于l1,l2的直线，则存在l3,l4，使得所有点在l3,l4之间，又
A1A2AiAj?d，l3,l4之间距离?d，不妨设等于d，则l1,l2,l3,l4交得正方形
A3A4A5A6，则所有点在正方形A3A4A5A6内。再以
l1l2d[2]为边长，将
A3A4A5A6划分成[n]个小正方形，由于n不为正整数，所以n?[n]．所
22以存在一个小正方形内有两个点Ai,Aj，所以minAi{Aj?,}?2，故[n]d??d2?d[n]?22[n]．
４．我们称点集为＂自由集＂如果由集合中点连成的线中不存在等边三角形．证明：平面上n,(n?N)个
点构成的集合，含有＂自由集＂至少有n个．
证明：设f(n)是平面上n个不同的点构成的最大自子集中最小元．我们将证明f(n)?2*n对所有的n2成立．由于f显然是非单调递减函数，所以，只要证明f(n?1)?n?1即可．当我们考虑平面上n?1个点构成的子集，由于这些子集构成的是有限集，我们选一组点，使得在给定的n?1个点中有２个点有相同的x?坐标．设M1,?,Mn22?1是给定的点，且x1???xn2?1，故y?坐标组成了项数为n?1的数列，
2但由于熟知这样的数列有非单调递减数列的n?1项子列或非单调递增的n?1项子列，故不妨设为第一种，
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设P1,?,Pn?1是满足xi?xi且yi?yj(i?j)时的n?1个点，可得n?1个点构成的集合不可能含有３个点构成等边三角形，因而原问题成立．
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