解法二：取AD的中点E，连A1E、EM．
D1C1?EN//AB//A1B1，?四边形A1B1NE为平行四边形，
?A1E//B1N，??EA1M等于异面直线A1M与B1N所成的
角或其补角．----------------------------------------9分
A1B1DENBC?AM?1，AE?2，AA1?1，得AM?2，AE?5，11AMEM?5，
?cos?EA1M?2?5?51010，?EA1M?arccos． ?10102?2?510．----------------------------14分 10?异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）AB?10（公里），
?BCD中，由
于是，由BDBC?，得BC?52（公里）-------------------2分 00sin45sin3010?52?60?51.21?50知， 20快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分 （2）在?ABD中，由AD2?102?102?2?10?10?????300， 得AD?103（公里），------------------------------------------------------------8分 在?BCD中，?CBD?105，由
0?1??2?CD52， ?sin1050sin300得CD?51?3（公里），-----------------------------------------------------10分
??由
103?51?360???60?15?20?153?45.98?51.21（分钟）
知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
??3?x?8,x?[?8,1]【解】(1) y??； ------------------------------------------------------6分
??3?x?8,x?[73,136]3t0(2)1 若?0，即t?0，则y?f?x?在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分
23t20 若?15，即t?10，则y?f?x?在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分
23t3t30 当3??12，即2?t?8时，由于区间?0,3?关于对称轴的对称区间是
22?3t?12?3t?3?15?或?3t，即t??2,4?或t??6,8?时， ?3t?3,3t?，于是当??3t?3??12??2?2函数y?f?x?在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．
综上，t?(??,0]?[2,4)?(6,8]?[10,??)．------------------------------------------14分
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设N(x0,y0)，由于A(?2,0),B(2,0)，
2y0??2所以k2?k3?，
x?2x0?2x0?20y0y02x0222?y0?1，即x0因为N(x0,y0)在椭圆C上，于是， ?2??2y022y01所以k2?k3?2??.------------------------------------------------------------------4分
x0?22
?22?x?my?(2)设直线MN:x?my?，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?2
2?x2?2y2?2?22得(m?2)y?2my?3?0， 2于是y1?y2??
2m3,y?y??，------------------------------------6分 12m2?22?m2?2?k1?k3?y1y2??x1?2x2?2y1y2
329m2y1y2?m?y1?y2??22???m2?
32?m2?2?3322m9??m??222m?222?m?2??1??．10分
396?m2?3m2??m2?2?22?32 (3)由于直线MN与x轴的交点为(t,0)，于是MN:x?my?t，
x2?y2?1的方程，可得 联立直线MN:x?my?t与椭圆C:2(m2?2)y2?2mty?t2?2?0，
2mtt2?2,y1?y2?2于是y1?y2??2.-------------------------------------------------12分
m?2m?2因为直线AM:y?两式相除，可知
y1y2(x?2)，直线BN:y?(x?2)，
x1?2x2?2x?2x1?2y2my1?t?2y2my1y2?(t?2)y2 ?????x?2x2?2y1my2?t?2y1my1y2?(t?2)y1t2?22mtm?2?(t?2)(?2?y1)?m(t?2)2?(t?2)(m2?2)y1m?2m?2 ??22t2?2m(t?2)?(t?2)(m?2)y1m?2?(t?2)y1m?2t?2?m(t?2)?(m2?2)y1t?2， ???2t?2m(t?2)?(m?2)y12?t于是xt?2，所以x?22，即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线x?上．16分 tt
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)因为
An?1An11?A???(n?N*)，于是数列?n?是首项为1，公差为的等差数列， n?1n22?n?所以
An11n(n?1)?n?，即An?(n?N*)， n222*当n?2时，an?An?An?1?n，又因为a1?1，所以an?n(n?N).--------------2分 又因为bn?2?2bn?1?bn?0(n?N)，于是数列?bn?是等差数列，
*设?bn?的前n项和为Bn，由于B9?9b5?36，则b5?4，由于b3?2，
所以bn?n?1(n?N*)．---------------------------------------------------------------------------------4分 (2)数列?an?的前n项和An?n(n?1)(n?1)n，数列?bn?的前n项和Bn?．----5分 22k(k?1)(k?1)k??k2；-----------6分 22当n?2k(k?N*)时，Sn?S2k?Ak?Bk?当n?4k?3(k?N*)时，
Sn?S4k?3?A2k?1?B2k?2?k(2k?1)?(2k?3)(k?1)?4k2?6k?3；----------7分
当n?4k?1(k?N*)时，
Sn?S4k?1?A2k?1?B2k?(2k?1)k?(2k?1)k?4k2?2k；------------------------8分 ?12?4n,n?2k?2?n?3所以Sn??,n?4k?3，其中k?N*．------------------------------------------------10分
?4?n2?1,n?4k?1?4?
(3)由(1)可知，cn?1. 2n?1若对于任意给定的正整数k?k?2?，存在正整数l,m(k?l?m)，使得ck,cl,cm成等差数列，则
2cl?ck?cm，即
211??，---------------------------------------11分 2l?12k?12m?1于是
1214k?2l?1???，
2m?12l?12k?1(2l?1)(2k?1)2kl?k?2l(k?1)(2l?1?4k)?(2k?1)2?所以m?
4k?2l?14k?2l?1(2k?1)2(2k?1)2?1?k??m?k?1，------------------------------------------13分 ，即
4k?2l?14k?2l?1?则对任意的kk?2,k?N，4k?2l?1能整除(2k?1)2，且4k?2l?1?0.
??由于当k?2时，2k?1中存在多个质数，
所以4k?2l?1只能取1或2k?1或?2k?1?------------------------------------------------14分 若4k?2l?1?1，则l?2k?1，m?4k?5k?2，于是
22m?l?4k2?7k?3?(4k?3)(k?1)?0，符合k?l?m；----------------------------15分
若4k?2l?1?2k?1，则k?l，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若4k?2l?1?(2k?1)2，则m?k?2，于是m?0，矛盾．-------------------------------17分
2综上，当k?2时，存在正整数l?2k?1,m?4k?5k?2，满足k?l?m，且使得ck,cl,cm成等
差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分