苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数 学 Ⅰ 试 题
方差公式：s?211?(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2?，其中x?(x1?x2?????xn)．
?n?n一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．
相应位置上． ．．．．．
1． 若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位)，则z的虚部为 ▲ ．
4}，B?{a2，2． 设集合A?{2，2}(其中a?0)，若A?B，则实数a? ▲ ． 4)到抛物线y2??8x的准线的 3． 在平面直角坐标系xOy中，点P(?2，距离为 ▲ ．
4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶
图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．
7 8 8 2 4 4 9 2 （第4题图） 开始 输入x Y S?1 输出S 结束 （第5题图） （第6题图）
x＜1 N S?2x?x2 2]，则输出值S的 5． 右图是一个算法流程图，若输入值x?[0，取值范围是 ▲ ．
6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以
钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的 正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ ．
7． 已知函数f(x)?sin(πx??)(0?x?2π)在x?2时取得最大值，则?? ▲ ． 8． 已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若
4aS10?4，则1? ▲ ．
dS59． 在棱长为2的正四面体P?ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且
PD?2DN，则三棱锥D?MBC的体积为 ▲ ．
b，c，且满足acosB?bcosA?10． 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，▲ ．
3tanAc，则? 5tanB220)，若圆C上存在点M，满足11． 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x?1)?y?2，点A(2，1
MA2?MO2?10，则点M的纵坐标的取值范围是 ▲ ．
12． 如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称
点Q，则OP?OQ的取值范围为 ▲ ．
B P O Q A ?1?(|x?3|?1)，x?0，13． 已知函数f(x)??2若存在实数a?b?c，
??lnx， x?0，满足f(a)?f(b)?f(c)，则af(a)?bf(b)?cf(c)的最大值 是 ▲ ．
314． 已知a，b为正实数，且?a?b??4(ab)，则
2（第12题图） 11?的最小值为 ▲ ． ab二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，?ADB?90，
CB?CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB?PD，求证：PC?BD； （2）求证：CE//平面PAD．
16．（本小题满分14分）
D A
P E
C
B
（第15题图）
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且
4S?3(a2?c2?b2).
（1）求?B的大小；
3cosA)，n?(3，?2cosA)，求m?n的取值范围． （2）设向量m?(sin2A，
2
17．（本小题满分14分）
下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
B D
A （第17题图（Ⅰ））
P
（第17题图（Ⅱ））
C
3
18．（本小题满分16分）
x2y22如图，椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别
ab2为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x，0)，直线AC与直线BD交于点N(x2，y2)． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若CM?2MD，求直线l的方程；
（3）求证：x1?x2为定值． 1y C A M O B x
N D （第18题图） 4
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?x3?ax2?bx?1，a，b?R． （1）若a?b?0，
① 当a?0时，求函数f(x)的极值（用a表示）；
② 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的
值；若不存在，请说明理由；
（2）函数f(x)图象上点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线
2l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2=4k1，求a，b满足的关系式．
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