杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-6
?ex?因为 ??r??xx?x??ey?ez????0，所以??E?0。
?y?zy?y?z?z???Q? r?a,??E???r?0,??E?0。
4??0§2.电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1. 电流强度和电流密度（矢量） ?
Q；I?I： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）
dQ?t
若是一个小面元，则用dI表示，dI?
?t?? J：方向：沿导体内一点电荷流动方向
大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
?
??dQdI J?，JdI?JdScos??J?dS J??tdScos?dScos???I与J的关系 I??dI??J?dS，
SS??此外对单一粒子构成的体系 J??v
2. 电荷守恒的实验定律
a) 语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单位
时间流出电荷总量等于V内电量的减少率。 b) 积分形式：单位时间流出封闭曲面总电量为
流入为负），闭合曲面内电量的减少率为???S??J?dS（流出为正，
dQ， dtdQd?? 又 ∵ Q???dV ∴???dV??dV
VVVdtdt?t???? 所以有： ?J?dS???S?V?tdV
dQ 若为全空间，总电量不随时间变化，故?0，总电荷守恒。
dt
6
杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-7
???????J?dS????JdV???dV ??S?V?V???t?微分形式：∵
?????? 而V是任意的， ∴ ??J??，或 ??J??0
?t?t? ⑴ 反映空间某点?与J之间的变化关系，电流线一般不闭合。 ???⑵ 若空间各点?与t无关，则?0,??J?0为稳恒电流，
?t?稳恒电流分布无源（流线闭合），?，J均与t无关，它产生的场也与t无
关。
二、 磁场以及有关的两个定律
1. 磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。 假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似，称为
?磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度B来描述。
2. 毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律）
????0Idl?r闭合导线： 电流元 dB? 34?r????0Idl?r 闭合电流 B???L4?r3
?????0Jdv?r闭合导体: 体电流元 dB?］ 34?r??0 闭合电流 B?4????线电流元 dF?Idl?B
???dF?JdV?B体电流元
??????闭合回路： F???Idl?B 或F???J?BdV
LV??V??J?rdV r33. 安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律）
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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-8
4. 两电流元之间的相互作用力。
设两电流元为J????1dV1,J2dV2，它们相距r12?r21
??J????0J1dV1?r121dV1在r12处产生的 dB1?4?r3 12J?2dV2受到的作用力为；
dF??J?dB??????0J2?J1?r12?122dV2?1?4?r3dV1dV2 12J??处产生的 dB????0J2dV2?r122dV2在r212?4?r3 21J?1dV1受到的作用力为：
dF??J???????0J1?J2?r21?211dV1?dB2?4?r3dV1dV2 21在一般情况下，dF??12?dF21
因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。 原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。 5. 两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题10）
证明： dF???I?????0I12dl2dl1?r12?12?I2dl?dB1?4?r3 12F??0I1I2?dl??r????????212dl1?dl2?dl1r1212?4???L2??L1r3 12???0I1I2?dl?dl???1?2r124???L2??L1r3 12 ???dl?r??12????r12??dS??0????L22r3?S??r3?? 1212??? 8
杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-9
同理可得 F21???r???? ∵r21??r12 ∴F12??F21
L1L2?0I1I24?????????dl1?dl2r21?321
三、 安培环路定理和磁场的旋度方程
????B?dl??II?J 1. 环路定理 ? （0???dS为L中所环连的电流强度
LS???J?J?x?）。
???0证明：??LB?dl?4???????J?x??dV??r??J??dl（V为?x??所在区域） 3??L??Vr????? ?04?????1??r1?? （） dVJx????dl???????3?V??Lr?rr?? ?04??VdV???L??????J?x???dl
????1?11???J???J?x????J??） rrrr???J?x?????0dV????????dS （斯托克斯公式） ?????VS4?r?????????????J?x??02J?x? ?dS???????????dV ???V4??Srr?????????2（????A????A??A）
（????J?x??????? ??04?????21???dS?Jx?dV ???S???Vr??（
?V????J?x??rVdV???????J?x???dS?rS??0）
???04??S?????dS??J?x????4????x?x??dV?
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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-10
??0 ??0???SSV?????J?x????x?x??dV??dS
???J?x???dS
说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路L的环量等于真空磁导率乘以从L中穿过
的电流强度。
⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很
高对称性的问题可求出B
???????B??J2. 旋度方程 0由
??L???????????B?dl????B?dS???0J?dS
S??s因为s为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明：
??????1) 磁场为有旋场，但在无J分布区，旋度场为零，J必须是连续函数，J不连续区只要用环路定理；
2) 该方程可直接由毕萨定律推出（见教材p16－19）
??3) 它有三个分量方程，但?????B?0,故只有两个独立，它只对稳恒
??电流成立。
四．磁场的通量和散度方程
????1. 通量： ??B?dS?0
S??????Jx??r??dV?dV3?V?V??????r ?????????????????0rr??? ???Jx?????Jx??dV?dV?0?3??r3?4??V?V???r??????????0B?dS???BdV???S?V4?证明：
?????????????r这里注意其中：??Jx??0，??3?0
r??2. 散度方程：??B?0
?? 10