逼近无限长的hd(n)，最有效的方法是截断hd(n)，是用一个有限长度的窗函数序列?(n)来截取hd(n)即h(n)??(n)hd(n)因而窗函数序列的形状及长度。
我们以一个截止频率为?c的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器，设低通特性的群时延为?。
Hd(ejw)?e?jw?,??c????c （24）
这表明，在通带范围内，Hd(ejw)的幅度是均匀的，其值为1，相位是???
1?ce?jw?ejwnd??csin[?c(n??)]H(n)??d? （25） 2???c??c(n??)它是中心点在?的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的h(n)，一种简单的方法取矩形窗?(n)?RN(n)。
但是按照线性相位滤波器的约束h(n)必须是偶对称，对称中心应为长度的一半，即N?1/2,因而??N?1/2，所以
h(n)?hd(n)?(n)?hd(n),0?n?N?1
（26）
??N?12 （27）
?sin[w(n?N?1)]cwc?2?,(0?n?N?1)N?1 h(n)??? （28） wc(n?)?2????0n为其他值然而加窗处理对理想矩形频率响应产生的几点影响
（1）使理想频率特性不连续点点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应WR(?)的主瓣宽度???4?,这里所说的过渡带是指两个肩峰之间
N的宽度，与滤波器的真正过渡带还有一些区别，也就是，滤波器的过渡带比这个数值要小。
（2）在截止频率?c??c?2?的地方，H(?)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成
N起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。
（3）增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为
7
sin(N?)2?Nsinx （29） WR(?)?xsin?2 其中x?N?2，可见，改变N，只能改变窗谱的主瓣肯定，改变w坐标的比例以及
改变WR(?)的绝对值大小，二不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，而这个相对比列是由
sinxx决定，例如在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，2?
N减小，故起伏振荡变密，最大肩峰则总是8.95%，这种现象称为称为吉布斯（Gibbs）效应。
以上讨论可以看出，最小阻带衰减只由形状决定，不受N的影响，而过渡带的宽度则既和窗形状有关，且随窗宽N的增加而减小。
2.3.2几种常用的窗函数介绍
(1)矩形窗
?(n)?RN(n) (30)
N?1)??j(2 (31) WR(ejw)?WR(w)esinN?2 (32) WR(?)?sin?2(2)巴特列特窗（三角窗）
w(n)?2nN?1(0?n?) (33) N?12 w(n)?2?窗谱为
8?N2nN?1(?n?N?1) (34) N?12NwN?1sin()?j?24jw22W(e)?[]ew()Nsin4 (35)
此时主瓣宽度为，可以看出，三角形窗频谱密度函数永远是正值。
(3)汉宁（hanning）窗 汉宁窗又称升余弦窗
?(n)?[1?cos(122?n)]RN(n) (36) N?1当N?1时，N?1?N,所以窗谱的幅度函数为
W(?)?0.5WR(w)?0.25[WR(??
2?2?)?WR(??)] (37) N?1N8
这三部分之和使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，但是其代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为8?。
N(4)海明（hamming）窗
对升余弦加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为
W(?)?[0.54?0.46cos(2?n)]RN(n) (38) N?1结果可以将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同
8?N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。
(5)布拉克曼（blackman）窗
为了更进一步抑制旁瓣，可加上余弦的二次谐波分量，得到布拉克曼窗：
?(n)?[0.42?0.5cos(2?n4?n)?0.08cos()]RN(n) (39) N?1N?1其频谱的幅度函数为 W(?)?0.42WR(?)?0.25[WR(??2?)?WR(??2?)]?0.04[WR(??4?)?WR(??4?)]
N?1N?1N?1N?112?N (40) 此时主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，记为
。
表1归纳了以上几种窗的主要性能，供FIR滤波器时参考。
表1 窗函数基本参数的比较
窗函数 窗谱性能指标 旁瓣宽度 矩形窗 巴特列特 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 -13 -25 -31 -41 -57 -57 主瓣宽度 2 4 4 4 6 加窗后滤波性能指标 过渡带宽 0.9 3.05 3.1 3.3 5.5 5 阻带最小衰减 -21 -25 -44 -53 -74 -80 2.4 用窗函数设计法来设计FIR低通滤波器
设计基于DSP的FIR低通滤波器，其要求是通带边缘频率10KHz，阻带边缘频率22KHz，阻带衰减75dB,采样频率50KHz。
根据FIR滤波器的设计方法和设计要求，其设计思路和设计步骤如下：
，?st?22000，??75dB,?s?50000 （41） ?p?10000?pfs?p?s10000?0.4?50000?p??2??2? （42）
9
?0.88? （43） ?st?st?2?st?2?fs?s50000??75dB （44）
??10000设hd(ejw)为理想线性相位滤波器：
?e?jwt,|w|?wjwc （45） hd(e)??0(n为其他)?
?c?c???2??2??16000?0.64?器的过渡带求理想低通首先由所需低通滤波cfs?s50000滤波器的截止?c（是由两个肩峰处中点）而由?p,?st之间的过渡带宽并非两个肩峰间的频率差，所以
?c?1(?p??st)?16000 2 （46）
其对应的数字频率为： 由此可得：
wcejw(n??)d? hd(n)?1?e?jwtej?ndw?1??2?2?wc ? ?1sinw(c(n??))n,?? ?(n??)?c,n?? （47） ?2其中?为线性相位所必需的移位，我们都知道它应该满足??N?1。 由于??75dB，通过查表1得，可以选择布拉克曼窗函数，其阻带衰减-74dB 所要求的过渡带的数字频域。
???2??st??p?s?2?12000?0.48?50000 （48）
所以
???代入得：
N?24.9 即N?25 （50）
5.98?2? （49） N ??N?1?12 （51） 21hd(n)?sin[?c(n?12)],n??
?(n?12)
10
??c,n?? （52） ?2?n4?n?0.08cos]RN(n) （53） N?1N?1布拉克曼窗函数的频谱幅度函数为：
?n?[0.42?0.5cos频谱幅度函数为：
sin[0.64?(n?12)]2?n4?n[0.42?0.5cos?0.08cos]RN(n)?(n?12)N?1N?1sin[0.64?(n?12)]2?n4?n?[0.42?0.5cos?0.08cos]R(n) ?(n?12)242425sin[0.64?(n?12)]2?n4?n?[0.42?0.5cos?0.08cos]??(n?12)2424[?(n)??(n?1)??(n?2)???(n?24)]h(n)?hd(n)?(n)? （54）
计算结果为：
h(n)??0.001x(n?2)?0.002x(n?3)?0.002x(n?4)?0.01x(n?5)?0.009x(n?6)?0.018x(n?7)?0.049x(n?8)?0.02x(n?9)?0.11x(n?10)?0.28x(n?11)?0.64x(n?12)?0.28x(n?13) （55） ?0.11x(n?14)?0.02x(n?15)?0.049x(n?16)?0.018x(n?17)?0.009x(n?18)?0.01x(n?19)?0.002x(n?20)?0.002x(n?21)?0.001x[n?22]FIR低通滤波器的理论设计基本完成。
数字滤波与模拟滤波相比有很多优点,它除了可避免模拟滤波器固有的电压漂移、温度漂移和噪声等问题外, 还能满足滤波器对幅度和相位的严格要求。低通有限冲激响应滤波器( F in ite ImpulseResponse Filter, FIR 滤波器) 有其独特的优点, 因为FIR系统只有零点, 系统总是稳定的, 且为线性相位,允许实现多通道滤波器。
2.5 MATLAB仿真
MATLAB有多种设计FIR数字滤波器的方法，本文主要介绍窗函数设计方法，它的设计思路和之前介绍的窗函数设计法相同，而前面采用是布莱克曼窗函数设计法，MATLAB中编写程序比CCS中用C语言编写程序要简单，只需要把窗函数设计的公式编写出来即可。
首先跟CCS编写程序一样，可以编写两个子函数，和一个主函数，主函数通过调用子函数来完成。因此应该点击file-new如图4产生一个.m文件。
图4 MATLAB仿真操作
11