级数敛散性判别方法的归纳
（西北师大）
摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散
一. 级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛un｝，形如
u1?u2???un? ①
称为无穷级数(常简称级数),用?un表示。无穷级数①的前n项之和，记为
n?1?sn??un=u?u???u ②
12nn?1n称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛s｝收敛于s.则称无穷级数?un收敛，若级数的部分和发散则称级数?vn发
nn?1散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数?un和?vn都收敛，则对任意的常数c和d，级数?(cun?dvn)亦收敛，且?(cun?dun)=c?un+d?vn
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给?＞0，总存在自然数N，使得当m＞N和任意的自然数p，都有um?1?um?2???um?p＜?
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
?
二 正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{sn}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有sn＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设?un和?vn是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有
un?vn，则
（i）级数?vn收敛，则级数?un也收敛； （ii）若级数?un发散，则级数?vn也发散。 例 1 . 设?an收敛，证明：?2n?1n?2???an收敛（an>0）. nlnn1212) 证明：因为 0
由比较判别法知?n?2??an收敛（an>0）. nlnnx例 2 . 证明：级数?(?1)sin(?x?0)都是条件收敛的。
nn?1 证： 不妨设x>0,则?Nx>0，当n>Nx时，0<为单调递减数列，且limsinn??x?xx<,此时sin?0,且{sin}n2nnx=0。 nx由莱布尼茨判别法知?(?1)sin(?x?0)收敛。
nn?1xx =sin>0，limn??xnnn?而当n>Nx时，(?1)nsinsinxn=1
?xx又?发散，由比较判别法知?sin也发散。
nn?1nn?1?x所以?x?0，级数?(?1)sin(?x?0)都是条件收敛的。
nn?1111例 3. 证明级数?[e?(1?????)]收敛
1!2!n!n?11111 证： 0< an= e?(1????)< = bn.
1!2!n!n?n!1bn(n?1)?(n?1)! limn?1= lim= lim=0
n??(n?1)2n??bn??1nn?n!?? 由比值判别法知?bn收敛，再由比较判别法知?an收敛，即有：
111级数?[e?(1?????)]收敛。
1!2!n!n?1?
根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。
2 柯西判别法（根式判别法）
设?un为正项级数，且存在某正整数N0及正常数l，（i）若对一切n＞N0，成立不等式nun?l＜1，则级数?un收敛。（ii）若对一切n＞N0，成立不等式
nun?1则级数?un发散。
n2例 1 . 判别级数?n的敛散性。
221n解：因为 limnun?lim=?1
n??n??22nn2 所以由根式判别法知级数?n收敛。
2
3 达朗贝尔判别法（比值判别法）
设?un为正项级数，且存在某正整数N0及常数q（0＜q＜1）. （i）若对一切n＞N0，成立不等式
un?1（ii）若对一切n＞N0，?q，则级数?un收敛。
un成立不等式
un?1?1则级数?un发散。 un3n?n!例 1 .判别级数?n的敛散性。
n3un?13n?1(n?1)!nn3 解：因为 lim? lim= = >1 ?limnn??un??(n?1)n?1n??1e3n!n(1?)nn3n?n! 所以由比式判别法知级数?n发散。
n
4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f为[1，+ ?)上非负减函数，那么正项级数?f(n)与反常积分?f(x)dx1?同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数? 解：设f(x)=
1的敛散性。 pqn?3n(lnn)(lnlnn)?1 ,则f(x)在[3，+ ??上非负递减。
n(lnn)p(lnlnn)q??若p?1，这时有?31?1(q?1)dudx?q?1= ?= ?q?1(lnln3)
lnln3uqx(lnx)p(lnlnx)q???(q?1)?????dudx= 对任意的q，当p?1?0x(lnx)p(lnlnx)q?lnln3e(p?1)uuq 当小q＞1时级数收敛；当小q ?1时级数发散； 若p?1,这时有?时，取t>1,有
e(p?1)uuq即该积分发散。
u????3limut?1ut?=0 即该积分收敛。当p?1?0时，有 limu??1e(p?1)uuq=??
5拉贝判别法
设?un为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，（i）若对一切n＞N0，成立不等式n(1?un?1（ii）若对一切n＞N0，成立)?r＞1，则级数?un收敛。
un不等式n(1?un?1)?1则级数?un发散。 unn!（x>0）的敛散性。
(x?1)(x?2)?(x?n)(n?1)!un?1 ? )= limn[1-
n??(x?1)(x?2)?(x?n?1)un例 1 .判别级数?解：因为 linm(1?n??(x?1)(x?2)?(x?n)]
n!nx?x = limn??x?n?1所以由拉贝判别法知，当小x＞1时级数收敛；当小x ?1时级数发散；
6对数判别法
1)un?q，则当q>1时，级数?un收敛；对于正项级数?un，如果存在limn??lnnln(当q<1时，级数?un发散。
例 1判别级数?an=?5[?lnn?(?1)n?2n?2??n?1]的敛散性。
ln(证明：lim
n??1)an[lnn?(?1)n?1]ln5= lim =ln 5>1 n??lnnlnn??n?1因此有对数判别法可知级数?an=?5[?lnn?(?1)n?2n?2]收敛。
7双比值判别法
对于正项级数?un，如果存在lim
1u2nu= lim2n?1= ?，则当?< 时，级
n??un??u2nn?1