雷达机动目标跟踪技术研究
与式（3.5）相伴的状态误差协方差矩阵定义为
???k|k???X?k??X??k|k???|Zk???k|k?X???k|k?|Zk? （3.7） P?k|k?????Xk?X??X??????????把以Zk为条件的期望算子应用到式（3.1）中，得到状态的一步预测为
??k?1|k????X?k?1?|Zk????F?k?X?k??G?k?u?k??V?k?|Zk?x?X??????k|k??G?k?u?k??F?k?X预测值的误差为
(3.8)
??k?1|k??X?k?1??X??k?1|k??F?k?X??k|k??V?k? （3.9） X一步预测协方差为
??k?1|k?X???k?1|k?|Zk?Pxx?P?k?1|k????X??
??k|k??V?k???F??k?X???k|k??V??k??|Zk （3.10） ???FkX???????F?k?P?k|k?F??k??Q?k???注意：一步预测协方差P?k?1|k?为对称阵，它可用来衡量预测的不确定性，
P?k?1|k?越小则预测越精确。
通过对式（3.3）取在k?1时刻、以Zk为条件的期望值，可以类似地得到量测的预测是
??k?1|k????Z?k?1?|Zk?????H?k?1?X?k?1??W?k?1??|Zk?Z?Z??????k?1|k??H(k?1)X进而可求得量测的预测值和量测值之间的差值为
（3.11）
??k?1|k??Z?k?1??Z??k?1|k??H?k?1?X??k?1|k??W?k?1? （3.12） Z量测的协方差（或新息协方差）为
??k?1|k?Z???k?1|k?|Zk?Pzz?S?k?1????Z????k?1|k??W?k?1???X???k?1|k?H??k?1??W??k?1??|Zk ???Hk?1X???????H?k?1?P?k?1|k?H??k?1??R?k?1?（3.13）
??注意：新息协方差S?k?1?也为对称阵，它是用来衡量信息的不确定性，新息协方差越小，则说明量测值越精确。
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状态和量测之间的协方差为
?|Zk???k?1|k?Z???k?1|k?|Zk????????Pxz???XXk?1|kHk?1Xk?1|k?Wk?1???????????????? ?P?k?1|k?H??k?1?（3.14）
增益为
PxzPzz?1?K?k?1??P?k?1|k?H??k?1?S?1?k?1? （3.15）
进而，可求得k?1时刻的估计（状态更新方程）为
??k?1|k?1??X??k?1|k??K?k?1?v?k?1? (3.16) X式中，v?k?1?为新息或量测残差，即
??k?1|k??Z?k?1??Z??k?1|k? （3.17） v?k?1??Z??k?1|k?1?等于该时刻的状态预测值X??k?1|k?再加式（3.17）说明k?1时刻的估计X上一个修正项，而这个修正项与增益K?k?1?和新息有关。
协方差更新方程为
P?k?1|k?1??P?k?1|k??P?k?1|k?H??k?1?S?1?k?1?H?k?1?P?k?1|k????I?K?k?1?H?k?1???P?k?1|k??P?k?1|k??K?k?1?S?k?1?K??k?1?图3.2给出了卡尔曼滤波器所包含的方程及滤波流程。 该图也是本论文静态滤波的主要设计流程。
3.1.3 卡尔曼滤波器的初始化
本节讨论状态估计的初始化问题是运用卡尔曼滤波器的一个重要前提条件，只有进行了初始化，才能利用卡尔曼滤波器对目标进行跟踪。
1、平面内四维状态向量估计的初始化
对平面内雷达的数据处理问题，此时系统的状态向量若表示为
X?k???x?xy???，而直角坐标系下的量测值Z?k?为 y?Z?k???x?k????cos??Z?k???1 ??????? （3.19）
Zkyk?sin???2???????? （3.18）
式中，?和?分别极坐标系下雷达的目标径向距离和方位角测量数据。则系统的初始状
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态可利用前两个时刻的测量值Z?0?和Z?1?来确定，即
?? X?1|1???Z1?1??Z1?1??Z1?0?TZ2?1?Z2?1??Z2?0??? ? （3.20）
T?初始协方差初始状态估计k时刻的状态估计k时刻的状态估计协方差??k|k?XP?k|k?状态的一步预测状态方程协方差的一步预测??k?1|k??F?k??X??k|k??G?k?u?k?XP?k?1|k??F?k??P?k|k?F??k??Q?k?X?k?1??F?k??X?k??G?k??u?k??V?k?量测的预测新息协方差??k?1|k??Z??k?1|k?H(k?1)XS?k?1??H?k?1?P?k?1|k??H??k?1??R?k?1?量测方程新息Z?k?1??H?k?1??X?k?1??W?k?1?v?k?1??Z?k?1???k?1|k??ZK?k?1??P?k?1|k??H??k?1?S?1?k?1?增益状态更新方程协方差更新方程??k?1|k?1??X??k?1|k?X?K?k?1?v?k?1?P?k?1|k?1??P?k?1|k??K?k?1?S?k?1?K??k?1? 图3.2 卡尔曼滤波器算法框图
k时刻量测噪声在直角坐标系下的协方差为
?rR?k???11?r122r12????0? ?AA? （3.21）?2?r22???0???第 13 页 共 31 页
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2式中，??和??2分别为径向距离和方位角测量误差的方差，而
?cos? A???sin???sin?? （3.22）
?cos???由量测噪声协方差的各元素可得四维状态向量情况下的初始协方差矩阵为
?r11?1??r?1?TP?1|1???11?r12?1????r12?1?Tr11?1?2r11?1?r12?1?2r12?1?TT2TT2r12?1?r12?1?Tr22?1?r22?1?Tr12?1?2r12?1?r22?1?2r22?1?T??T2? (3.23) T??T2??并且滤波器从k?2时刻开始工作。
2、平面内六维状态向量估计的初始化 该情况下系统的状态向量若表示为X?k???x???xxy?y??y??，则此时直角坐标
系下的目标量测值Z?k?、量测噪声协方差R?k?仍和四维情况相同。
由于此时含加速度，所以系统的初始状态需利用前三个时刻的测量值Z?0?、Z?1?和
Z?2?确定，即
?Z1?2????Z2-Z1T??????11??????Z2-Z1T-Z1-Z0TT????????????111????2|2????1X (3.24) ??Z2?2??????Z2?2?-Z2?1??T????????Z2?2?-Z2?1??T-?Z2?1?-Z2?0??T?T??初始协方差矩阵为
?PP?2|2???11?P12式中，P11、P12和P22为分块矩阵，且
??rij?2???rij?2?Pij???T?rij?2??2?Trij?2?Trij?2??rij?1?T2rij?2??2rij?1?T3P12? (3.25) ?P22???T2??rij?2??2rij?1??,T3?rij?2??4rij?1??rij?0???T4?第 14 页 共 31 页
rij?2?i?1,2,3;j?1,2,3 （3.26）
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并且滤波器从k?3时刻开始工作。
3.2 具有机动检测的跟踪算法
所谓目标的机动检测，其实质上是一种判别机制，它是利用目标的量测信息和数理统计的理论进行检测。具有机动检测的跟踪算法的基本思想是，机动的发生将使原来的模型变差，从而造成目标状态估计偏离真实状态，滤波残差特性发生变化。因此，人们便可以通过观测目标运动的残差变化来探测目标是否发生机动或机动结束，然后使跟踪算法进行相应的调整，即进行噪声方差调整或模型转换，以便能够更好地跟踪目标。图3.3为这类机动目标跟踪算法的基本原理图。从图中我们可以看出：首先由量测Z与状
??k?1|k?构成新息向量v，然后通过观察v的变化进行机动检测，最后按照某态预测HX一准则或逻辑调整滤波增益或者滤波器的结构，从而达到对机动目标的跟踪[12]。本节重点介绍变维滤波算法（VD算法）[13]。
目标动态特性初始状态X0??k?1|k?d?Y?HX增益确定量测Y=HX+V+-机动检测与机动辨识??k?1|k?HX滤波输出??k|k?X变换H??k?1|k?X预测
图3.3 机动目标跟踪基本原理图
变维滤波算法是由Bar-Shalom和Birmiwal于1982年提出来的，该方法不依赖于目标机动的先验假设，把机动看做目标动态特性的内部变化，而不是作为噪声建模。检测手段采用平均信息法，调整方式采用“开关”型转换，在没有机动的情况下，跟踪滤波器采用原来的模型，一旦检测到机动，滤波器就要使用不同的、具有较高维数的状态量测，新的状态量被附加上。再由非机动检测器检测机动消除病转换到原来的模型。
这里采用两种模型，即未机动时的等速模型和对于机动目标的近似等加速模型。在匀速模型中，平面运动的状态分量为
X??xk?kxyk?k?? （3.27）y在机动模型中状态分量为
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