《初等数论》-高等教育出版社
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果ba，ab，则( ).
A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解. A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).
?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求?
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??3261、证明对于任意整数n,数
是整数.
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
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3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
a[]3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( b ).
4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
136?221,39117 =[]
=[1768,391] ------------(4分)
1768?39117 =
=104?391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）
解：因为（9，21）=3，3144，所以有解； ----------------------------（2分） 化简得3x?7y?48； -------------------（1分）
考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， -------------------（2分） 所以原方程的特解为x??96,y?48， -------------------（1分） 因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 -------------------（2分）
3、解同余式12x?15?0(mod45). （8分）
《初等数论》-高等教育出版社
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分） 即定理4.1中的x0?10. ------（1分） 因此同余式的3个解为
x?10(mod45), ---------（1分）
x?10?453(mod45)?25(mod45), -----------------（1分） x?10?2?453(mod45)?40(mod45).---------（1分）
?4、求
?429??563??,其中563是素数. （8分） ?解 把?429??563??看成Jacobi符号,我们有 ?429?1563?1?429???2.2??563?(?1)?563??429????4292?1?563?8??429?????134??2??67??429?????429????429???(?1)?67??429??---------------（367?1429????67?2.?12??429????(?1)?429??429??67??????67??27?1????27?2.67?12??67??67????(?1)?27?????67??27??----------------------（2分）
27?1???13???(?12.13?12??27??27?)?13?????1??13???1,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
n1、证明对于任意整数n,数
3?n22?n36是整数. (10分)
nn2n3n 证明 因为3?2?6=6(2?3n?n2)1=6n(n?1)(n?2), ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）
并且(2,3)=1, -----（1分）
分）
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所以从2n(n?1)(n?2)和3n(n?1)(n?2)有6n(n?1)(n?2),-----（3分）
nn2n3??6是整数. -----（1分） 即32
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
332 证明 因为(n?1)?n?3n?3n?1, -------------（3分）
2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
2所以3n?3n?1?(mod5) ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）
3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n是正数,并且n??1(mod4), ----------（3分） 如果
n?x2?y2, ---------（1分）
则因为对于模4,x,y只与0,1,2,-1等同余,
22x,y所以只能与0,1同余,
所以
x2?y2?0,1,2(mod4), ---------（4分）
而这与n??1(mod4)的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分）
初等数论考试试卷二
一、单项选择题 1、(0,b)?（ ）.
A b B ?b C b D 0 2、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（ ）. A a B b C 1 D a?b 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
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A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、不定方程525x?231y?210（ ）.
A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果ba，ab，则( ).
A a?b B a??b C a?b D a??b 8、公因数是最大公因数的（ ）.
A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ).
A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程12x?15y?7没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式x2?438(mod593)（ ）.
A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解
二、填空题
1、有理数，0?a?b,(a,b)?1，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( )n，而且与n（ ）的正整数的个数. 5、设a,b整数，则(a,b)（ ）=ab.
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、x?[x]?（ ）.
8、同余式111x?75(mod321)有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ).
11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( ).
ab