湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）
姓名： 班级 ： 分数 ：
一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1 已知复数m满足m?①
11?1，则m2008?2009? mm①
2 设f(x)?①
①
??13cos2x?sinxcosx?2，x?[?,]，则f(x)的值域为
6422SS1S2,,?,15中最大a1a2a15
3 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0,S16?0，则
①
的是
①
4 已知O是锐角△ABC的外心，AB?6,AC?10，若AO?xAB?yAC，且
①
2x?10y?5，则cos?BAC?
①
5 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是
①
棱A1D1和CC1的中点 则四面体O?MNB1的体积为
①
①
6 设A?B?C?{1,2,3,4,5,6}，且A?B?{1,2}，{1,2,3,4}?B?C，则符合条件
①
的(A,B,C)共有 组 （注：A,B,C顺序不同视为不同组 ）
①
①
7
①
①
设y?sinx?cosx?tanx?cotx?secx?cscx，则|y|的最小值为
8 设p是给定的正偶数，集合Ap?{x|2?x?2①
①
pp?1,x?3m,m?N}的所有元素的
和是
二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）
9 设数列{an}(n?0)满足a1?2，am?n?am?n?m?n?①
1(a2m?a2n)，其中2m,n?N,m?n
①
（1）证明：对一切n?N，有an?2?2an?1?an?2；
（2）证明：
111?????1 a1a2a2009①
①
10 求不定方程x1?x2?x3?3x4?3x5?5x6?21的正整数解的组数
①
11 已知抛物线C：y?①
12x与直线l：y?kx?1没有公共点，设点P为直线l上的动2①
点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点
(1)证明：直线AB恒过定点Q；
12 设a,b,c,d为正实数，且a?b?c?d?4 证明：
①
①
a2b2c2d2????4?(a?b)2 bcda①
湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）
参考答案
一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1 已知复数m满足m?①
11?1，则m2008?2009? 0 mm①
2 设f(x)?①
??13cos2x?sinxcosx?2，x?[?,]，则f(x)的值域为
64223[2,2]4①
3 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0,S16?0，则
①
SS1S2,,?,15中最大a1a2a15的是
S8a8①
①
4 已知O是锐角△ABC的外心，AB?6,AC?10，若AO?xAB?yAC，且
2x?10y?5，则cos?BAC?13①
5 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是
①
棱A1D1和CC1的中点 则四面体O?MNB1的体积为
①
748①
6 设A?B?C?{1,2,3,4,5,6}，且A?B?{1,2}，{1,2,3,4}?B?C，则符合条件
①
的(A,B,C)共有 1600 组 （注：A,B,C顺序不同视为不同组 ）
①
①
7
①
设y?sinx?cosx?tanx?cotx?secx?cscx，则|y|的最小值为
2①
2?1①
pp?18 设p是给定的正偶数，集合Ap?{x|2?x?2,x?3m,m?N}的所有元素的
2p?1?2p?1和是2①
二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12
题20分。）
9 设数列{an}(n?0)满足a1?2，am?n?am?n?m?n?①
1(a2m?a2n)，其中2m,n?N,m?n
①
（1）证明：对一切n?N，有an?2?2an?1?an?2； （2）证明：
111?????1 a1a2a2009①
证明 （1）在已知关系式am?n?am?n?m?n?1(a2m?a2n)中，令m?n，可得2a0?0；
令n?0，可得
a2m?4am?2m ①
令m?n?2，可得
a2n?2?a2?2?1(a2n?4?a2n) ② 2由①得a2n?2?4an?1?2(n?1)，a2?4a1?2?6，a2n?4?4an?2?2(n?2)，
a2n?4an?2n，
代入②，化简得an?2?2an?1?an?2? ------------------------------------------7分 （2）由an?2?2an?1?an?2，得(an?2?an?1)?(an?1?an)?2，故数列{an?1?an}是首项为a1?a0?2，公差为2的等差数列，因此an?1?an?2n?2
①
于是an??(ak?1nk?ak?1)?a0??(2k)?0?n(n?1)
①
nk?1因为
1111???(n?1)，所以 ann(n?1)nn?1①
111111111?????(1?)?(?)???(?)?1??1 a1a2a2009223200920102010 ------------------------------14分
10 求不定方程x1?x2?x3?3x4?3x5?5x6?21的正整数解的组数
①
①
解 令x1?x2?x3?x，x4?x5?y，x6?z，则x?3,y?2,z?1
①
先考虑不定方程x?3y?5z?21满足x?3,y?2,z?1的正整数解
①
?x?3,y?2,z?1，?5z?21?x?3y?12，?1?z?2 -----------------------5分
①
当z?1时，有x?3y?16，此方程满足x?3,y?2的正整数解为
(x,y)?(10,2),(7,3),(4,4)
①
当z?2时，有x?3y?11，此方程满足x?3,y?2的正整数解为(x,y)?(5,2)
①
所以不定方程x?3y?5z?21满足x?3,y?2,z?1的正整数解为
(x,y,z)?(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2)?---------------------------------------10分
又方程x1?x2?x3?x(x?N,x?3)的正整数解的组数为Cx?1，方程
2x4?x5?y(y?N,x?2)的正整数解的组数为C1y?1，故由分步计数原理知，原不定方程
的正整数解的组数为
2121211C9C1?C6C2?C3C3?C24C1?36?30?9?6?81? -------------------------------15分
11 已知抛物线C：y?①
12x与直线l：y?kx?1没有公共点，设点P为直线l上的动2①
点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点
(1)证明：直线AB恒过定点Q；
(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：
PMPN?QMQN①
证明 (1)设A(x1,y1)，则y1?由y?12x1 2①
①
12x得y??x，所以y?|x?x1?x1 2①
于是抛物线C在A点处的切线方程为y?y1?x1(x?x1)，即y?x1x?y1 设P(x0,kx0?1)，则有kx0?1?x0x1?y1
①
设B(x2,y2)，同理有kx0?1?x0x2?y2
①
所以AB的方程为kx0?1?x0x?y，即x0(x?k)?(y?1)?0，