1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学
【解析】方法一：不妨设正方体边长为2．以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴、
z轴建立空间直角坐标，则D1(0,0,2),M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1)．
可得CM?(2,?2,1),D1N?(2,2,?1)． ∴cos?CM,D1N??CM?D1NCMD1N?1??．
922?(?2)2?12?22?22?(?1)22?2?(?2)?2?1?(?1)cos??cos?CM,D1N??∴
145，∴． sin??99方法二：取DD1中点E，显然D1N//EB且与CM相交于O，则
?BOC就是所求角或其补角．不妨设正方体边长为2．则3BE?CM?3,BO?CO?,BC?2．在?BOC中由余弦定理
2可得cos??145，∴sin??． 99
二、填空题：本大题共6小题；每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．
19．（同理科19）抛物线y?4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB 的距离为 ． 【答案】2
【解析】由题设可得A,B的横坐标为x?3，焦点为(1,0)，焦点到AB的距离为2．
20．（同理科20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120?．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 m（精确到0.1m）． 【答案】17.3 【解析】h?2r30??103?17.3．
tan60?3
21．（同理科21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共 种（用数字作答）．
6
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【答案】4186
3241【解析】C4C46?C4C46?4186．
22．（同理科22）建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元． 【答案】1760
【解析】设长方形的长为x，则宽y?
344，由题设可得总造价R?2?2(x?)?80?4?120 xx44?320(x?)?480，求导得R??320(1?2)，令R??0德尔x?2时，根据函数的单调
xx性可知水池的总造价最低为1760元．
23．（同理科23）设f(x)?4?2【答案】1
【解析】由于f(1)?4?2
xx?1xx?1，则f?1(0)? ．
?0，所以f?1(0)?1．
1?an?1? ． 24．设a?1，则limn??1?an?1【答案】?1 【解析】lim1?an??1?an?1n?11()n?1?1?lima??1． n??1n?1()?1a
三、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、演算步骤）
25．（本小题满分8分）
解方程lg(x?4x?26)?lg(x?3)?1． 【解】本小题考查对数方程的解法和运算能力．
2x2?4x?26x2?4x?26?lg10，?10． （3分） 原方程可化为lgx?3x?3 7
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解得：x1?3?5;x2?3?5． （6分） 检验：x?3?5时，x?3??5?0，负数的对数没有意义， 所以x?3?5不是原方程的根；
x?3?5时，原方程的左边?lg105?lg5?lg10?1?右边．
所以原方程的根是x?3?5． （8分）
26．（本小题满分8分）
已知数列
88?18?28nS?,,???,,???，为其前项和，计算得， Sn1n22222291?33?5(2n?1)?(2n?1)S2?244880,S3?,S4?．观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以254981证明．
【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．
(2n?1)2?1Sn?(n?N)． （2分）
(2n?1)232?18?，等式成立． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当n?1时，S1?329(2k?1)2?1（Ⅱ）设当n?k时等式成立，即Sk?． （5分）
(2k?1)28(k?1)(2k?1)2?18(k?1)则Sk?1?Sk? ??22222(2k?1)(2k?3)(2k?1)(2k?1)(2k?3)2[(2k?1)?1]k(?223?)k?8( ??(2k?12)(k2?23)21k)?(2k1?)2(2?k3)?2(2?k3?)
k?(221k?)(223)8(1)(2k?12)(k2?23?) ?(2k?12)(k2?k(?221)k?(22?3)． ?223)k?(23)1由此可知，当n?k?1时等式也成立． （7分）
根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n?N都成立． （8分）
8
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27．（同理科26）（本小题满分10分）
如图，A1B1C1?ABC是直三棱柱，过点A1,B,C1的平面和平面ABC的交线记作l． （Ⅰ）判定直线AC11和l的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）若AA求顶点,AB?4,BC?3,?ABC?90?，1?1A1到直线l的距离．
【解】本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力． （Ⅰ）l//AC11．证明如下：
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行． 由题设知直线AC11?平面A1B1C1l?平面A1BC1平面A1BC1，直线
平面ABC．
根据两平面平行的性质定理有l//AC11． （4分）
E，则A1E的长为点A1到l的距离． （Ⅱ）解法一：过点A1作A1E?l于
连结AE．由直棱柱的定义知A1A?平面ABC． ∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影．
又l在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE?l． 由棱柱的定义知AC1//AC，又l//AC11，
∵l//AC． （8分）
作BD?AC于D，则BD是Rt?ABC斜边AC上的高，且BD?AE， 从而AE?BD?AB?BC4?312??．
AC55在Rt?A,?A1AE?90?， 1AE中，∵AA1?1∴A1E?1213AE2?A1A2?()2?12?．
5513． （10分） 5故点A1到直线l的距离为
解法二：同解法一得l//AC11． （8分）
由平行直线的性质定理知?CAB??ABE，从而有
Rt?ABCRt??BEA，AE:BC?AB:AC，∴AE?BC?AB． AC 9
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以下同解法一．
28．（同理科27）（本小题满分10分）
在面积为1的?PMN中，tanM?1,tanN??2．建立适当的坐标系，求出以M,N2为焦点且过点P的椭圆方程．
【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力．
解法一：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂
直平分线为y轴．
x2y2设所求椭圆方程为2?2?1．分别记M,N,P点的坐标为(?c,0),(c,0)
ab和(x0,y0)． （1分） ∵ tan??tan(??N)?2，
5?1x?c,???03?y0?(x0?c),∴由题设知?解得? 24?y?c,??y0?2(x0?c),?03?4c)． （4分） 3414在?PNM中，MN?2c，MN上的高为c．∴S?MNP??2c?c?1，
323即P(c,∴c?5335323，即P(,)． （6分） 263215152． ,PN?(x0?c)2?y0?332PM?(x0?c)2?y0?∴a?115222(PM?PN)?．从而b?a?c?3． （9分） 224x2y2??1． （10分） 故所求的椭圆方程为153解法二：同解法一得：c?35323，即P(,)． （6分） 263 10
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532232)()2226?32?1， ∵点P在椭圆上，且a?b?c，∴b3b2?()22(2解得b?3或b??21（舍去）． （9分） 3a2?b2?c2?15． 44x2y2??1． （10分） 故所求的椭圆方程为153
29．（同理科28）（本小题满分10分）
1?(z)43?设复数z?cos??isin?(0????)，??．已知，求?． ??,arg??1?z432【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．
1?[cos(??)?isin(??)]41?cos(?4?)?isin(?4?) （2分） ???1?[cos??isin?]41?cos4??isin4?2si2n?2?i2si?n2c?os2?tan?2(si?n?4i ?2co2s?2?i2si?n2c?os2c?o；s 4 )??tan2??sin4??icos4??tan2??因0????，故有 （1）当tan2??3， （6分） 3?7?33??时，得??或??，这时都有??(cos?isin)，得
12123366arg???6??2，适合题意． （10分）
（2）当tan2???5?113?，这时都有时，得得??或??12123??11??311?11??，不适合题意，舍去． (cos?isin)，得arg??623665?11?． （12分） 或??1212综合（1）、（2）可知?? 11