习题九
一、选择题
9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
(A) 如果高斯面上 处处为零，则该面内必无电荷．
(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 处处为零． (C) 如果高斯面上 处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A) ． (B) (C) ． (D) ［D］
9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量 ，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
(A) (B) (C) (D) [B ]
9.4 如题图9.2所示，直线 长为 ，弧 是以 点为中心， 为半径的半圆弧， 点有正电荷 ， 点有负电荷 ．今将一试验电荷 从 点出发沿路径 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量．
(C) A＝∞． (D) A＝0． ［D， ］
9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．
(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］
9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度 ． (B) 电势 ．
(C) 电势能 ． (D) 电场力的功A＞0．
［C］ 二、计算题
9.7 电荷为 和 的两个点电荷分别置于 和 处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？ x
解：设试验电荷 置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
即：
。
因 点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 ，沿其下半部分均匀分布有电荷 ，如题图9.4所示．试求圆心 处的电场强度．
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷 ，它在 处产生场强
按 角变化，将 分解成二个分量：
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 所以
。
9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为 的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为 的均匀带电球体，其球心位于O点。 是边长为 的等边三角形。已知 处场强方向垂直于 ，求: 和 间的关系。
解：如图建立坐标系。根据题意可知
。
9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ： 。以图中O点为圆心，取半径为 的环形面积，其电量为 。它在距离平面为a的一点处产生的场强
则半径为 的圆面积内的电荷在该点的场强为
由题意， ，得到 ， 。
9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为 ，电荷线密度为 。过导线中点 作一半径为 [ ]的球面 ， 为带电直导线的延长线与球面 的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量 。 （2）、 处电场强度的大小和方向。 解：（1）利用静电场的高斯定理即可得： 。
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为 处取长度为 的带电元，其所带电荷量为 ， 在 点产生的电场强度为
点的电场强度为
9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： ， , 。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C?m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数 ＝8.85×10-12 C2?N-1?m-2 )
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得： 则
9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为 、 ，电荷体密度为 ，在球心处有一点电荷 。证明：当 时，球壳区域内电场强度 的大小与半径 无关。 证：用高斯定理求球壳内场强： , 而
要使 的大小与 无关，则应有 ： ， 即 。
9.14 如题图9.10所示，一厚为 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 ( )，式中 为一正的常量．求：
(1) 平板外两侧任一点 和 处的电场强度大小； (2) 平板内任一点 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为 ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
按高斯定理 ，即：
得到：
， (板外两侧)
(2) 过 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为 ，如图所示．按高斯定理有：
得到： ( ) (3) ，必须是 ， 可得 。
9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为 的一个小球体，球心为 ，两球心间距离 ，如题图9.11所示。 求： (1) 在球形空腔内，球心 处的电场强度 ；
(2) 在球体内 点处的电场强度 。设 、 、 三点在同一直径上，且 。
解：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场 ，而另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场 ，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即： 。
在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小。
得： 方向分别如图所示。
在图(b)中，以 点为小球体的球心，可知在 点 . 又以 为心， 为半径作球面为高斯面 可求得P点场强 。
，
(1) 求 点的场强 。由图(a)、(b)可得 ， 方向如图(c)所示.
(2)求P点的场强 .由图(a)、(b)可得 方向如(d)图所示.
9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度 的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势 的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线． (1) 设 的点的坐标为 ，则 ?
解出：
另有一解 不符合题意，舍去． (2) 设坐标x处 ，则 得：
9.17 一均匀静电场，电场强度 ，空间有两点 和 ，（ 以米计）。求 两点之间的电势差 。 解：空间某点的位矢表示为 ，则
9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为 ， 为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．
解：在任意位置x处取长度元 ，其上带有电荷 。它在O点产生的电势
O点总电势：
9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为 的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)． 解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．
细杆的电荷线密度 ，在x处取电荷元 ，它在P点产生的电势为
整个杆上电荷在P点产生的电势：
（2）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.
杆的电荷线密度 ．在x处取电荷元 ，它在P点产生的电势
整个杆上电荷产生的电势：
9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．
解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为 (R1＜r＜R2）
两球的电势差：
∴ ＝2.14×10-9 C
9.21 电荷以相同的面密度 分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． ［ ＝8.85×10-12 C2 /(N?m2)］ (1) 求电荷面密度 ．
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？