第6章 热力学基础
计算题
6-3 1mol单原子分子理想气体，盛于气缸内，此气缸装有可活动的活塞。已知气体的初压强为105Pa，体积为10-3m3。现将该气体在等压下加热，直到体积为原来的2倍，然后再在等容下加热，到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，使温度降为起始温度。
(1) 将整个过程在p-V图上表示出来； （2）整个过程气体内能的改变量； （3）整个过程气体对外作的功。
[分析] 热力学第一定律在等压、等体和绝热过程中的应用. 注意各等值过程的特征, 内能是状态量, 功和热量都是过程量.
[解] (1) 按题意作出整个过程的p－V图如解6-3图所示. 图中虚线为等温线.
(2) 因为 T1?T4,
所以整个过程气体内能的改变量 ?E?0
(3) 整个过程气体对外作的功
A?A12?A23?A34 等压过程的功 A12?p1124pp23?V2V1pdV?p1(V2?V1)
等温线
?10?(2?1)?105?302V1V2V?1.01?10J
等体过程的功 A23?0 解6-3图 绝热过程的功 A34?V4?V3pdV?p3V3?p4V4??1
i?22?3因为 p4V4?p3V3, 而p3?2p1, V3?2V1, ??4p1V1?p1V153?19p1V129?10?1025?53
所以 A34????4.56?10J
2整个过程的功 A?A12?A23?A34
22 ?(1.01?0?4.56)?10?5.57?10J
6-4 1mol双原子理想气体，从状态A沿p-V图所示的直线变化到状态B，试求：
（1）气体内能的增量?E； （2）气体对外界所作的功A；
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（3）气体吸收的热量Q； （4）此过程的摩尔热容量Cm。
[分析] A→B过程是一个任意过程。内能只与A、B状态的温度有关；功在数值上等于过程曲线与V轴所围面积的大小；由热力学第一定律可求得热量, 再由摩尔热容的定义求此过程的摩尔热容量。 [解] (1) 内能的增量 ?E?miM2R(T2?T1)?52p1p2pBA0V1V2V(p2V2?p1V1) 题6-4图
(2) 气体对外作的功A, 数值上等于过程曲线与V轴所围面积的大小 A?p2V2p1V11212(p1?p2)(V2?V1)
因为 ?, 即 p2V1?p1V2
(p2V2?p1V1)
所以 A? (3) 气体吸收的热量Q
Q??E?A?3(p2V2?p1V1)?3R(T2?T1) (4) 此过程的摩尔热容量Cm Cm?
6-5已知某理想气体在某一准静态过程中的摩尔热容为Cm?CV,m?R。试求此过程的过程方程。（式中CV为摩尔定容热容）
[分析] 求过程方程即p(V)关系。由摩尔热容的定义、热力学第一定律的微分形式和理想气体物态方程消去dT, 再积分即可。 [解] 根据摩尔热容的定义, 有 Cm?dQdT?CV,m?R
?Q?T?3R(T2?T1)T2?T1?3R
得 dQ?CmdT?(CV,m?R)dT ① 对该过程的任一微小过程, 由热力学第一定律, 有
dQ?dE?pdV?CV,mdT?pdV ②
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由①、②得 ?RdT?pdV ③ 理想气体物态方程 pV?RT 两边微分, 有
pdV?Vdp?RdT ④ ③、④两式消去dT得
dpp?2dVV
两边积分得 pV2?恒
上式就是所求的过程方程, 是一个多方过程.
6-6 1mol氧气，温度为300K时，体积为2.0×10-3 m3。试求下列两个过程中氧气所作的功： （1）绝热膨胀至体积为2.0×10-3 m3；
（2）等温膨胀至体积为2.0×10 m，然后再等容冷却，直到温度等于绝热膨胀后所达到的温度为止；
将上述两过程在p – V图上表示出来，说明两过程中功的数值的差别。
[分析] 热力学第一定律在绝热、等体和等温过程中的应用。
[解] 按题意作出整个过程的p－V图如解6-6图所示. (1) 绝热膨胀过程a→c
由绝热过程方程 T1V1??1?T2V2??1 得 T2?T1(V1V2)??1-33
pp2abp1?3?3cV1V2?300?(2?1020?10)1.40?10?119.4K
V由热力学第一定律 解6-6图 A1???E1?? ?52mMCV,m(T2?T1)
3?8.31?(300?119.4)?3.75?10J
(2) 等温膨胀过程a→b A2?mMRTlnV2V1
?8.31?300?ln等体过程b→c, 气体不作功.
20?102?10?3?3?5.74?10J
33 a→b→c过程的总功为 Aabc?A2?5.74?10J
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计算表明: 等温过程氧气作功比绝热过程作功大. 因为功A??V2V1pdV, 在等温过程中
温度不变, 压强仅随V的增大而减小. 而在绝热过程中, 气体对外作功是以消耗内能为代价的, 内能减少, 势必减低气体的温度. 故压强随温度降低p?程作功比绝热膨胀过程作功大.
6-9 如图所示，AB、DC是两绝热过程，CQA是等温过程。已知系统在CQA过程中放热100 J，QAB的面积是30J，QDC的面积为70J。试问在BQD过程中系统是吸热还是放热？热量是多少？
[分析] QDC包围的面积所对应的净功值大于0, 而QAB为逆循环, 其包围的面积所对应的净功值小于0, 即外界对系统作功。热力学第一定律应用于整个循环, 并注意到整个循环?E?0, 便可求得整个循环系统从外界吸收的热量。又因为AB、DC是两绝热过程, CQA过程放热, 故BQD过程系统必吸热。 [解] 整个循环 ?E?0 整个循环系统对外作的净功
0pAD1V?, ??1. 所以等温膨胀过
QBCV A?70?30?40J 题6-9图 热力学第一定律应用于整个循环, 得整个循环系统从外界吸收的净热量 Q?A??E?A?40J
由于AB、DC绝热, CQA过程放热Q2?100J, 故BQD过程系统必吸热, 设为Q1, 则 因为 Q?Q1?Q2
所以 Q1?Q?Q2?40?100?140J
第7章 气体动理论
思考题
7-7 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量 （1）速率大于v0的分子数；
（2）速率大于v0的那些分子的平均速率；
（3）分子速率倒数的平均值。
[提示] （1）速率大于v0的分子数?Nf(v)dv；
v0? 74
（2）速率大于v0的那些分子的平均速率
??v0vf(v)dv??；
f(v)dvv0 （3）分子速率倒数的平均值??1v0f(v)dv。
7-6 下列说法中正确的是（ C ）
（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它； （B）
12kT表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运动的平均动能；
（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足vH?vO；
22 （D）气体分子的速率等于最概然速率vp的概率最大。
计算题
57-1 一打气筒，每打一次可将压强为p0?1.0?10Pa，温度为t0 = -3.0℃，体积V0 = 4.0L 的
空气压缩到容积V = 1.5×103L的容器中，问需打几次气，才能使容器内的空气温度变为t = 45℃，压强p?2.0?105Pa。假设未打气前容器中原来就有温度为 45℃，压强为1.0?105Pa的空气。
[分析] 理想气体物态方程的应用。
[解] 设空气的摩尔质量为M, 打一次气能把质量为m?的气体送入容器中，由理想气体物态方程，有
m??p0V0MRT0
p0VMRT容器中原有空气的质量为 m0?
pVMRT容器中最后所含有的空气质量为 m?送入容器中的空气总质量为 ?m?m?m0?所以，需打气的次数为 n??mm??VT0V0Tp03
VMRT(p?p0)
(p?p0)
?
1.5?10?2704.0?318?1.0?(2?1)?318次
75