浙江省诸暨市牌头中学高中数学《圆锥曲线的离心率》同步练习
一、直接由定义得到
1．已知双曲线以正方形的对角线的两个顶点为焦点，且经过正方形的四条边的中点，则双曲线的离心率
为 。
2．已知椭圆以正方形ABCD的两个顶点A、B为焦点，且过C、D，则椭圆的离心率为 。 二、由性质之间的关系来得到方程得到
x2y2x2y2?2?1 和双曲线2?2?1 有公共焦点，则椭圆的离心率是 （ ） 3．椭圆22mnm2nF EA．
315630 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2346A D 4．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，
其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，求椭圆的离心率 5．椭圆的焦点为F1、F2，过F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为
为20，则椭圆的离心率为 。 6．若椭圆
x2a2?y2b2B C 32，△M F2N的周长5?1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y=2bx的焦点分成5：3
2
的两段，则椭圆的离心率为 。
??7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF1F2?15,?PF2F1?75，则椭圆的离心率
为
bx2y2222222
8.椭圆2?2?1（a>b>0）和圆x＋y=(?c)有四个交点，其中c=a－b, 则e的取值范围
2ab9．椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P、Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆的离心率e的取值范围
x2y210．已知点F是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的
ab直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_ 。 11．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为______________。
2|PF|x2y212.已知点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，1最小值是8a，
ab|PF2|求双曲线离心率的取值范围 。 三、结合直线与圆锥曲线的关系得到
13．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y?x?1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标
为?2,则此双曲线的离心率为 。 32
2
14．若曲线mx+ny=1（m>0，n>0）与直线x+y=1相交于A、B两点，且在线段AB上存在一点M，使
2OM?OA?OB （O为坐标原点），直线OM的倾斜角为30°，则n：m=____ _______。
15. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双
曲线的离心率的取值范围是 。
16．斜率为1的直线过双曲线的右焦点，与双曲线的两交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的范
围是 。
17、双曲线的两个焦点为F1,,F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|。则双曲线离心率的取值范围
x2a2y2b2?1(a?b?0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P（异于A），使得OP?AP?0
18．已知椭圆?（O为原点），则离心率的取值范围是 。
x2219．已知双曲线2?y?1(a?0)上存在P、Q两点关于直线x?2y?1对称，求双曲线离心率的范围。
a
x2y220．已知过双曲线2?2?1(a?0,b?0)左焦点F1的直线l交双曲线于P、Q两点，且OP?OQ（Oab为原点），求双曲线离心率的取值范围。
一、直接由定义得到
1．已知双曲线以正方形的对角线的两个顶点为焦点， 且经过正方形的四条边的中点，则双曲线的离心率为
10?2 。 22．已知椭圆以正方形ABCD的两个顶点A、B为焦点，且过C、D，则椭圆的离心率为 2?1 。 二、由性质之间的关系来得到方程得到
x2y2x2y2?2?1 和双曲线2?2?1 有公共焦点，则椭圆的离心率是 （ D ） 3．椭圆22mnm2nF EA．
315630 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2346A D 4．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，
其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，求椭圆的离心率 3?1 5．椭圆的焦点为F1、F2，过F1作直线与椭圆相交， 被椭圆截得的最短的线段MN长为6．若椭圆
x2a2?y2b2B C 323，△M F2N的周长为20，则椭圆的离心率为 。 552
?1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y=2bx的焦点分成5：3
的两段，则椭圆的离心率为
25 。 5??7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF1F2?15,?PF2F1?75， 则椭圆的离心率为 解：
6 3m?n2c?
sin75??sin15?sin90?bx2y2222222??8.椭圆2?2?1（a>b>0）和圆x＋y=(?c)有四个交点，其中c=a－b, 则e的取值范围 ?5,3?
?55?2ab???b?2?c?b解：?
b??c?a?29．椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P、Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆的离心率e的取值范围 ??5?1? ,1???2??b2?c 解：ax2y210．已知点F是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x
ab轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(1,2)_ 11．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为____
6__________。 22|PFx2y21|12.已知点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，最小值是8a，
ab|PF2|求双曲线离心率的取值范围 ?1,3? 。
22|PF|(|PF|?2a)4a212解析：??|PF2|??4a?8a，由均值定理知：当且仅当|PF2|?2a时取得
|PF2||PF2||PF2|最小值8a，又|PF2|?c?a所以2a?c?a，则1?e?3
三、结合直线与圆锥曲线的关系得到
13．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y?x?1与其相交于
M、N两点，MN中点的横坐标为?2222214,则此双曲线的离心率为 。
2322a242?a解：(7?2a)x?2ax?a?a(7?a)?0，，=2 237?a14．若曲线mx+ny=1（m>0，n>0）与直线x+y=1相交于A、B两点，且在线段AB上存在一点M，
使2OM?OA?OB（O为坐标原点），直线OM的倾斜角为30°，则n：m=____ 3_______。
15. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是
2
2
1 ?2,??? 。
16．斜率为1的直线过双曲线的右焦点，与双曲线的两交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的范
围是
?2,?? 。
?17、双曲线的两个焦点为F1,,F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|。则双曲线离心率的取值范围 |PF1|=2|PF2|==>|PF1|-|PF2|=2a==>|PF2|=2a ==>|PF1|=4a 三角形PF1F2中， PF1+PF2>F1F2 ==>2a+4a>2c ==>a>c/3 ；e=c/a==>c/a x2a2?y2b2?1(a?b?0)与x轴正向交于点A， 若这个椭圆上总存在点P（异于A），使得OP?AP?0 （O为原点），则离心率的取值范围是 ?2??? 。 ?2,1????x(x?a)?y2?0a2a2?2232222解：?x，?cx?ax?ab?0，x1?a?3x1??a?3?(0,a) y??1cc22?b?a