山东省实验中学2013届高三数学第二次阶段测试题
第I卷（选择题 共60分）
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有
一项最符合题目要求的 ）
1．设集合A?{x|a?3?x?a?3},B?{x|x??1或x?2}，若A∪B=R，则实数a的取
值范围是
A．[－1，2]
B．（－1，2）
C．[－2，1]
（ ） D．（－2，1）
（ ）
2．已知tan??13,且??(?,?)，则sin?的值是 22B．
A．?5 55 5C．
25 5D．?
25 5（ ）
3．函数f(x)?x|x?a|?b是奇函数的充要条件是
A．a=0
3B．b=0 C．ab=0 D．a2?b2?0 （ ）
24．双曲线x2?y?1的两条渐近线的夹角为
A．
? 6B．
? 3C．
? 4D．
? 25．（理）已知函数f(x)?a这个定点的坐标为 A．（1，4）
x?1?4(a?0,a?1)的反函数y?f1(x)的图象经过一个定点，
C．（5，1）
D．（4，1）
（ ）
B．（1，5）
6．若函数y?f(x)的图象和y?sin(x??)的图象关于点M(?,0)对称,则f(x)的表达式是（ ）
44
A．cos(x?2?4) B．cos(x?2?4) C．?cos(x??4) D．?cos(x??4)
7．已知方程(x?mx?2)(x?nx?2)?0的四个根组成一个首项为 |m－n|等于
A．1
B．
1的等比数列，则 2（ ）
3 2C．
5 2D．
A19 2C1B18．如图，三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为a， ∠A1AC=60°，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，则
- 1 -
ACB 直线BA1与平面ACC1A1所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知O是△ABC所在平面上一点，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，则O是△ABC的
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
（ ）
10．如果函数f(x?1)是偶函数，那么函数y?f(2x)的图象的一条对称轴是直线（ ）
A．x??1
B．x?1
C．x??1 2D．x?
1 2
（ ）
11．已知实数x,y满足4x?3y?0,则u?x2?y2?4x?2y的最小值是 A．1 B．4 C．－4 12．已知直平行六面体ABCD—A1B1C1D1的各条棱长
均为3，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点 M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动， 则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面 所围成的几何体的体积为（ ）
D．－1
2? 92C．?
3A．4? 94D．?
3B．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
13．设a,b?R,i是虚数单位，若
ab5i??,则a?b? 1?i1?2i3?ix2y214．椭圆2?2?1(a?b?0)的半焦距为c，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为
abc，则该椭圆的离心率为
15．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成
- 2 -
的角为60° 其中正确结论的序号是
三 解答题 本大题有6小题，共74分
17．（本题满分12分）
设平面上P Q两点的坐标分别是(cosxx3x3x?,sin),(?cos,sin),其中x?[0,]. 22222 （Ⅰ）求|PQ|的表达式；
（Ⅱ）（文）记f(x)?|PQ|2?|PQ|,求函数f(x)的最小值和最大值
（理）记f(x)?|PQ|2?4?|PQ|(??R),求函数f(x)的最小值
18．（本小题满分12分）
某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外
线电话同时打入情况如下表所示： 电话同时 打入个数ξ 概率P 0 0 1 0 2 3 4 5 6 7 0 8 0 13 35 0 27 0 14 0 08 0 02 0 01 （Ⅰ）若这段时间内，公司只有安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话） （1）求至少一路电话不能一次接通的概率；
（2）在一周五个工作日内，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电
话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”
（Ⅱ）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望
19．（本题满分12分）
如图，已知ABC—A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中
点，E为底面一边A1B1的中点
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线A1B1到与它平行的平面DAB的距离； （Ⅲ）求二面角A—BD—C的大小（用反正切表示）
20．（本题满分12分）
(?m)在定义域内连续 已知函数f(x)?x?lnx （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）当m为何值时，f(x)?0恒成立？
- 3 -
（Ⅲ）给出定理：若函数g(x)在[a,b]上连续，并具有单调性，且满足g(a)与g(b)异号，
则方程g(x)?0在[a,b]内有唯一实根，试用上述定理证明：当m?N且m?1时，方程f(x)?0在[1?m,em?m]内有唯一实根
012m （e为自然对数的底；参考公式：2m?Cm） ?Cm?Cm???Cm21．（本题满分12分） 设抛物线y?12x的焦点为F，准线为1，过点F作一直线与抛物线交于A B两点，再2分别过点A B作抛物线的切线，这两条切线的交点记为P （Ⅰ）证明直线PA与PB相互垂直，且点P在准线l上；
（Ⅱ）是否存在常数?，使等式FA?FB??FP2恒成立？若存在，求出?的值，若不存在，说明理由 22．（本题满分14分）
如图，曲线y?x上的点P1 P2……Pn与x轴上的点O，Q1 Q2……Qn，构成一系列正
三角形，即△OP1Q1，△Q1P2Q2，……△Qn－1PnQn，设正△OP1Q1的边长为a1，正△Qn－
1PnQn的边长为
an(n?2）
（Ⅰ）求a1,a2； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记正△Qk－1PkQk的面积为bk，令Tn?b1?b2????bn(Qn与原点O不重合）， 又设△OPnQn的面积为tn，求lim （参考公式：12+22+…+n2=
Tn
n??tn1n(n?1)(2n?1)） 6yP1P2P3o
Q1Q2Q3- 4 -
x
山东省实验中学2013届高三数学第二次阶段测试题
高三数学参考答案
1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D 11 C 12 A
13 （文）{x|x??3或?1?x?2}，（理）4
14．2?1 15．59 16．①②③
（注：14．写成3?22不扣分；16．少一个序号扣2分） 17．（Ⅰ）|PQ|?x3xx3x(cos?cos)2?(sin?sin)2 （1分）
2222?2?2cos2x （3分）
?4cos2x?2cosx(?x?[0,]) （3分）
2112x?)2? （2分） （Ⅱ）（文）f(x)?4cosx?2cosx?4(cos44∵cosx?[0,1], ∴由二次函数性质知 当cosx??11时,f(x)有最小值?当cosx?1时,f(x)有最大值2（3分） 44222（理）f(x)?4cosx?8?cosx?4(cosx??)?4? （2分） ∵cosx?[0,1],?当0???1时,f(x)min??4? 当??1时,f(x)min?4(1??)?4??4?8? 当??0时,f(x)min?4(0??)?4??0 18．（文）（Ⅰ）a1?S1?222221(a1?1)2?a1?1（2分） 4a1?a2?
1(a2?1)2?a2?3 （2分） 4- 5 -