概率论与数理统计
0 2 P 2/12 7/12 ★.定理（连续型随机变量函数的密度公式） 设连续型变量X密度为fX(x),y?g(x)严格单调,反函数x?x(y)导数连续,则Y?g(X)是连续型变量,密度为
Y ?f(x(y))|x?(y)|,??g(x)极小值?y???g(x)极大值, fY(y)??X0,其它.?证明 1)若x??x?(y)?0,{Y?y}?{g(X)?g(x)}?{X?x},
FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?g(x))?P(X?x)?FX(x), 两边对y求导,
fY(y)?fX(x(y))x?(y),??y??.
2)若x??x?(y)?0,{Y?y}?{g(X)?g(x)}?{X?x},
FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?g(x))?P(X?x)?1?FX(x), 两边对y求导,
fY(y)??fX(x(y))x?(y),??y??.
因此总有fY(y)?fX(x(y))|x?(y)|,??y??. 或证明
?P(X?x)?FX(x),g?(x)?0, FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?g(x))????P(X?x)?1?FX(x),g(x)?0,两边对y求导,
?dFX(x)dx,??dxdyfY(y)??
dFX(x)dx??,dxdy??或两边微分
?dF(x)?fX(x)dx, dFY(y)?fY(y)dy??X?dF(x)??f(x)dx,?XX?f(x)dx,?XdyfY(y)??
dx??fX(x)dy,??fX(x(y))|x?(y)|,??y??.
2? 设随机变量X的密度函数是fX(x)? 求下列随机变量函数的密度函数? (1)Y?tan X? (2)Y?1? (3)Y?|X|? X(1) 反函数x(y)?arctany,x'(y)?1,由连续型随机变量函数的密度公式得 1?y2fY(y)?fX(x(y))|x'(y)|?1f(arctany). 1?y2X1, 1?y2或 反函数支xi(y)??i?arctany,i为整数，xi'(y)? 第11页 共31页
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fY(y)?i??????fX(xi(y))|x(y)|?12?fX(?i?arctany).
1?yi???'i??(2) X?1,反函数xy?1,fY(y)?fX(xy)x'y?12fX(1).
Yyyy(3) FY(y)?P(Y?y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)?FX(y)?FX(?y)? 两边对y求导得Y的密度函数为fY(y)?fX(y)?fX(?y),y?0.
★3? 设随机变量X~U[?2? 2]? 求Y?4X2?1的密度函数?
FY(y)?P(Y?y)?P(4X2?1?y)?P(?1y?1?X?1y?1)?1y?1,?1?y?15,
224两边对y求导得随机变量Y的密度为
1,?1?y?15. fY(y)?8y?1或解 反函数支x1(y)?1y?1,x2(y)??1y?1,
22'fY(y)?fX(x1(y))|x1'(y)|?fX(x2(y))|x2(y)|?2fX(x1(y))x1'(y)?1,?1?y?15.
8y?1★4? 设随机变量X服从参数为1的指数分布? 求Y?X2的密度函数(Weibull分布)? 当y?0时, Y?X2的分布FY(y)?0,当y?0时,
FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(X?y)?FX(y), 两边对y求导得
?1e?y,y?0,?fY(y)?fX(y)(y)??1e?y,fY(y)??2y
2y??0,y?0.或 反函数xy?y,fY(y)?fX(xy)x'y?1e?y,y?0.
2y★5? 设随机变量X~N(0? 1)? 求(1)Y?e X的密度函数? (2)Y?X2的密度函数(Gamma分布)? (1) 当y?0时, Y?eX的分布FY(y)?0,当y?0时,
FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny)??(lny), 因而Y的密度为
?1(lny)2exp?,y?0,?2 fY(y)??'(lny)??(lny)(lny)'?1?(lny),fY(y)??2?yy??0,y?0.(lny)211'或 反函数X?lnY,xy?lny,fY(y)??(xy)xy??(lny)?exp?,y?0. 2y2?y(2) 当y?0时,FY(y)?0;当Y?0时,
????FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)?FX(y)?FX(?y)?
y?1e?2,y?0,?两边对y求导得Y的密度函数为fY(y)??2?y
??0,y?0.或 反函数支x1(y)?y,x2(y)??y,
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y?12fY(y)?fX(x1(y))|x(y)|?fX(x2(y))|x(y)|?e,y?0. 2?y'1'2?1?,x?16? 设随机变量X的密度函数是fX(x)??x2? 求Y?lnX的概率密度?
?x?1?0,反函数xy?ey,fY(y)?fX(xy)x'y?fX(ey)ey?e?y,y?0.
第七次作业
☆.将8个球随机地丢入编号为1? 2? 3? 4? 5的五个盒子中去? 设X为落入1号盒的球的个数? Y为落入2号盒的球的个数? 试求X和Y的联合分布律?
1? 袋中装有标上号码1? 2? 2的3个球? 从中任取一个并且不再放回? 然后再从袋中任取一球?? 以X? Y分别记第一、二次取到球上的号码数? 求? (1)(X? Y)的联合分布律(设袋中各球被取机会相等)? (2)X? Y的边缘分布律? (3)X与Y是否独立？ (1)(X? Y)的联合分布律为
P(X?1,Y?1)?0,P(X?1,Y?2)?P(X?2,Y?1)?P(X?2,Y?2)?1.
3(2) X? Y的分布律相同?P(X?1)?1,P(X?2)?2.
33(3) X与Y不独立?
?(1?e?3x)(1?e?5y),x,y?0,2? 设二维连续型变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)??
?0,其它.求(X,Y)联合密度?
?15e?3x?5y,x,y?0,?2 f(x,y)?F(x,y),f(x,y)???x?y?0,其它.
★3? 设二维随机变量(X? Y)服从D上的均匀分布? 其中D是抛物线y?x2和x?y2所围成的区域? 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数? 并判断X,Y是否独立? 分布区域面积S??10?xx2dydx??10?231?12x?xdx??x2?x3??,
3?03?31?12??3,x?y?x?1,联合密度f(x,y)??S
??0,其它.边缘X的密度为fX(x)??23dy?3(x?x2),0?x?1,
xx边缘Y的密度为fY(y)??23dy?3(y?y2),0?y?1.
yyf(x,y)?fX(x)?fY(y),因此X与Y不独立.
或f(x,y)非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X与Y不独立.
4. 设二维离散型变量(X,Y)联合分布列是
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Y?1 X ?1 3 q 5 1 53 101 15p 1 1 5问p,q取何值时X与Y相互独立.
121/15q1/52两行成比例???,解得p?,q?.
1015p1/53/103
?Ax2e?y,?1?x?1,y?0,★5.设(X,Y)的联合密度为f(x,y)??求?(1)常数A?(2)概率
?0,其它.1P(0?X?,Y?1)(3);边缘概率密度fX (x)? fY (y)? (4)X与Y是否相互独立？
2 (1) fX(x)????0f(x,y)dy??1?1??0Axedy?Ax2?y2???0e?ydy?Ax2,?1?x?1,
?1?1fX(x)dx??Ax2dx?23A?1,A?. 321??1132e?1?y2. (2) P(0?X?,Y?1)?P(0?X?)P(Y?1)??xdx?edy?02122163(3) fX(x)?x2,?1?x?1,
21113fY(y)??f(x,y)dx??Ax2e?ydx?e?y?x2dx?e?y,y?0.
?1?1?12?32?y?xe,?1?x?1,y?0?f(x,y),得X与Y独立. (4)由fX(x)?fY(y)??2??0,其它或
因为f(x,y)?Ax2e?y,?1?x?1,y?0,可表示为x的函数与y的函数的积且分布在矩形区域上,所以X与Y相互独立.由此得fY(y)?e?y,y?0;fX(x)?Ax2,?1?x?1,
11232f(x)dx?Axdx?A?1,A?. X??1??1321?1??113e2?yP(0?X?,Y?1)?P(0?X?)P(Y?1)??2xdx?edy?.
0122216
?5e?5y,y?0,6. 设X服从均匀分布U(0,0.2),Y的密度为fY(y)??且X,Y独立.求?(1)X的
?0,其它.密度?(2) (X,Y)的联合密度? (1)X的密度为fX(x)?5,0?x?0.2,
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?25e?5y,0?x?0.2,y?0,(2)(X,Y)的联合密度为f(x,y)??
?0,其它.
第八次作业
★1? 设随机变量(X? Y)的联合分布律是 0 1 X Y 2 0 1/6 1/3 1/12 1 1/6 1/12 1/6 求函数(1)Z1?X?Y? (2) Z2?min{X? Y}? (3) Z3?max{X? Y}的分布律?
1111(1) P(Z1?0)?P(X?Y?0)?,P(Z1?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?0)???,
63621111P(Z1?2)?P(X?0,Y?2)?P(X?1,Y?1)???,P(Z1?3)?P(X?1,Y?2)?.
1212661113(2) P(Z2?1)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?2)???,P(Z2?0)?1?P(Z2?1)?.
126441(3) P(Z3?0)?P(X?Y?0)?,
61117P(Z3?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?0)????,
312612111P(Z3?2)?P(X?0,Y?2)?P(X?1,Y?2)???.
12642? 设随机变量(X? Y)的联合分布律是 1 ?1 X Y 0.25 0.125 ?1 1 0.125 0.25 求函数Z?X/Y的分布律?
P(Z?X/Y?1)?P(X?Y?1)?P(X?Y??1)?0.25?0.25?0.5, P(Z?X/Y??1)?1?P(Z?X/Y?1)?0.5.
?2e?2x3? 设X与Y相互独立? 概率密度分别为fX(x)???0?e?yx?0f(y)??x?0,Y?0y?0
x?0,试求Z?X?Y的概率密度?
fZ(z)??f(x,z?x)dx??fX(x)fY(z?x)dx
00zz??2e?2xe?z?xdx?2e?z?e?xdx?2e?z(1?e?z),z?0.
00zz
★4? 设X~U(0? 1)? Y~E(1)? 且X与Y独立? 求函数Z?X?Y的密度函数?
?e?y,0?x?1,y?0, f(x,y)???0,其它,当0?z?1时?
fZ(z)??f(x,z?x)dx??fX(x)fY(z?x)dx??e?z?xdx?e?z?x000zzzzx?0?1?e?z,
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