1.8 匀变速直线运动规律的应用
[目标定位] 1.会推导匀变速直线运动的位移与速度的关系式v－v0＝2ax，并能利用公式解决相关题目.2.掌握匀变速直线运动的两个重要推论：平均速度和Δx＝aT，并能利用它们解决相关问题．
匀变速直线运动的速度与位移关系 1．关系式：v－v0＝2ax；
12
2．推导：由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和位移公式：x＝v0t＋at消去时间t2即得．
3．若v0＝0，速度与位移的关系为v＝2ax. 想一想：
如图181所示，如果你是某机场的设计师，知道飞机起飞时的加速度是a，起飞速度是v，你将把飞机的起飞 跑道设计成至少多长呢？
2
2
2
2
2
2
图181
v2－v2v20
答案 飞机起飞时做匀加速直线运动，根据位移时间公式：v－v＝2ax，得x＝＝. 2a2a2
2
0
一、位移－速度公式的理解及应用
1．公式推导：物体以加速度a做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由速度公式：v＝v0＋at 12
位移公式：x＝v0t＋at
2
得位移与速度的关系式为v－v0＝2ax
注意 如果匀变速运动的已知量和未知量都不涉及时间，则利用公式v－v0＝2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便． 2．对公式的理解：
(1)适用条件：匀变速直线运动．
2
2
2
2
(2)位移与速度的关系式：v－v0＝2ax为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
①若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值． ②若位移的与正方向相同取正值；若位移与正方向相反，取负值． (3)两种特殊形式：
①当v0＝0时，v＝2ax，(初速度为零的匀加速直线运动)． ②当v＝0时，－v0＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)．
例1 2013年岁末中国首艘航母“辽宁舰”在南海传出“顺利完成作战科目试验”的消息．歼-15战机成功起降“辽宁舰”，确立了中国第一代舰载机位置．如图182所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知歼-15战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s
2,
22
22
战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使歼-15战机具有的初速度为( )
图182
A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s
解析 根据运动公式v－v0＝2ax，解得v0＝v－2ax＝50－2×4.5×100 m/s＝40 m/s.D正确． 答案 D
针对训练 在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( ) A．7 m/s B．17 m/s C．14 m/s D．3.5 m/s
－v02解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由0－v＝2ax得a＝＝－7 m/s，A正确．
2x2
20
2
2
2
2
2
2
2
2
2
答案 A
例2 机场跑道长为2500 m，喷气式飞机以恒定的加速度a＝3.5 m/s加速，当速率达95 m/s时可升空．假定飞机在到达此速率时因故要停止飞行，则喷气式飞机的制动系统至少要产生多大的加速度？
解析 设飞机从开始起飞到达到95 m/s时前进的位移为x1 由v－v0＝2ax，代入数据解得x1＝1289.3 m. 设飞机制动过程的加速度为a′，
飞机制动过程中的最大位移x2＝2500 m－1289.3 m＝1210.7 m
2
2
2
由0－v＝2a′x2得：a′＝3.73 m/s 答案 3.73 m/s 二、平均速度公式的应用
1．平均速度的一般表达式v＝，此式适用于任何形式的运动．
1
2．匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即v＝(v0＋vt)，
2此式只适用于匀变速直线运动．
1
证明：如图183所示为匀变速直线运动的vt图象，则t时间内的位移为x＝(v0＋vt)t，故
2
2
22
xtx1
平均速度为v＝＝(v0＋v)．
t2
图183
3．匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即v＝v＝
21
(v0＋vt)，此式只适用于匀变速直线运动． 2
证明：如图183所示，对0～，有：v＝v0＋a·；
222
tttttttt1
对～t有：v1＝v＋a·；由两式可得v＝(v0＋vt)＝v. 22222
例3 一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求： (1)质点4 s末的速度； (2)质点2 s末的速度．
解析 利用平均速度公式：4 s内的平均速度
xv0＋v4v＝＝，
t2
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s 2 s末的速度v2＝
v0＋v42＋8
2
＝
2
m/s＝5 m/s.
答案 (1)8 m/s (2)5 m/s 三、重要推论Δx＝aT的应用
2
1．推导：以初速度v0做匀加速直线运动的物体， 12
时间T内的位移：x1＝v0T＋aT ①
212
在时间2T内的位移：x2＝v0×2T＋a(2T)
2
②
32122
连续相等时间内的位移差为：Δx＝x2－x1＝v0T＋aT－v0T－aT＝aT，
22即Δx＝aT.
进一步推导可得：x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝……＝xn－xn－1＝aT
2．应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动；二是用以求加速度．
注意：此推论常在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度． 例4 (2013～2014河北高一月考)如图184所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，
2
2
A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m, BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用
的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
图184
A．物体的加速度为20 m/s B．CD＝4 m
C．OA之间的距离为1.125 m D．OA之间的距离为1. 5 m
解析 由匀变速直线运动的规律相邻相等的时间内位移之差为常数，即Δx＝aT可得： a＝
2
2
BC－AB122
＝ m/s＝25 m/s，故A错误；根据CD－BC＝BC－AB＝1 m，可知CD＝3 m＋1 m2t0.04AC52
＝4 m，故B正确；根据平均速度公式可得，vB＝＝，再由vB＝2axOB可得OB两点间的距
2t2tv2B离为xOB＝＝3.125 m，所以O与A之间的距离xOA＝xOB－AB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C
2a正确，D错误．所以选B、C. 答案 BC
位移－速度公式的理解及应用
1．如图185所示，一辆正以8 m/s速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s 的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )
2
图185
A．8 m/s C．10 m/s
2
2
2
B．12 m/s D．14 m/s
2
解析 由v－v0＝2ax得：v＝v0＋2ax＝8＋2×1×18 m/s＝10 m/s，故选C. 答案 C
2．(2013～2014广州高一期中)一汽车在平直的公路上以v0＝20 m/s做匀速直线运动，刹车后，汽车以大小为a＝4 m/s的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后经8 s汽车通过的位移为( ) A．50 m C．288 m
B．32 m
D．以上答案都不对
2
0－v0
解析 根据运动学公式可求出汽车的刹车时间t＝＝5 s，故汽车在5 s时就已经停止，
a0－v0所以汽车在8 s内的位移t＝＝50 m，A正确．
2a答案 A
平均速度公式的应用
3．(2013～2014云南高一期中)物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度为6 m/s，第2 s末的速度为8 m/s，则下列结论中正确的是( ) A．物体的加速度为2 m/s B．物体的初速度为3 m/s
C．第2 s内物体的平均速度为7 m/s D．第1 s内物体的平均速度为5.5 m/s 解析 根据加速度的定义a＝
2
2
v2－v18－622
＝ m/s＝2 m/s，A对；根据v1＝v0＋at?v0＝4 m/s，t1
v2＋v18＋6
2
＝
2
m/s＝7 m/s，C对；
2
2
B错；根据平均速度公式，有第2 s内的平均速度为v＝同理第1 s内的平均速度为v′＝答案 AC
v0＋v14＋6
2
＝2
m/s＝5 m/s，D错．
重要推论Δx＝aT的应用
4．汽车的启动可以看做匀加速直线运动，从启动过程的某时刻起汽车第一秒内的位移为6 m，第二秒内的位移为10 m，汽车的加速度为多大？
解析 不是从汽车开始启动计时的，所以不能用位移公式，根据Δx＝aT，得a＝4 m/s.
2
2
2