第八章第二讲：抽屉原理
学所拿球的种类是一样的．
【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要
有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？
【解析】 根据题意列下表：
有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的．
总结： 本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解．学生们可能会这么认为：铺垫：2件?3种?6件，
6件?2个?3人，要保证有相同的所以至少要有3?1?4人；对于例题中的题目同样2件?4种?8件，8件?2个?4人，要保证有相同的所以至少要有4?1?5人．因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复．
【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，
那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【解析】 首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和
梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4?6?10（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”．由抽屉原理知至少需11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的
【例 22】 红、蓝两种颜色将一个2?5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是
否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？
第第第第第四三五一二列列列列列第一行第二行
【解析】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：
红红红蓝蓝红蓝蓝
将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同．
【例 23】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，
其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
【解析】 这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有6种不同的涂法，
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红蓝黄红黄蓝蓝红黄蓝黄红黄红蓝黄蓝红
涂到第六列以后，就会跟前面的重复．所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同．
【例 24】 从2、4、6、8、?、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？ 【解析】 构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，?，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，
所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数．或者从小数入手考虑，2、4、6、?、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．
【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20. 【解析】 将10个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6个必有两个奇数
在同一组中，这两个数的和为20.
【巩固】 从1，4，7，10，?，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41. 【解析】 构造和为41的抽屉：(1,40)，(4,37)，(7,34)，(10,31)，(13,28)，(16,25)，(19,22)，现在取8个
数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.
【巩固】 从1，2，3，?，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有两个数的
差为50。
【解析】 将100个数分成50组：{1,51}，{2,52}，{3,53}，?，{50,100}，将其看作50个抽屉，在选出的
51个数中，必有两个属于一组，这一组的差为50．这道题也同样可以从小数入手考虑．
【巩固】 请证明：在1，4，7，10，?，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104. 【解析】 1，4，7，10，…，100共有34个数，将其分为(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，
共有18个抽屉．从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104．
【巩固】 从1、2、3、4、?、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两
个数，它们的差是12．
【解析】 在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，
｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）．
【巩固】 （小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，?，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个
数，其中每两个数的差不等于4．
【解析】 将1～1989排成四个数列：
1，5，9，…，1985，1989 2，6，10，…，1986 3，7，11，…，1987 4，8，12，…，1988
每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项．因此，第一个数列只能取出一半，因为有(1989?1)?4?1?498项，所以最多取出249项，例如1，9，17，…，1985．同样，后三个数列每个最多可取249项．因而最多取出249?4?996个数，其中每两个的差不等于4．
【巩固】 从2、4、6、?、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．
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【解析】 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屉中的有两
个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．
现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一
个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34．
【例 25】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，?，1994这些自然数中，最多可以取 个
数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．
【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；
19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；
…………………
1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一组中取前9个数，
共取出9?111?999（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．
方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数） ?1,10,19,28,?,1990?，共计222个数
?2,11,20,29,?,1991?，共计222个数 ?3,12,21,30,?,1992?，共计222个数 ?4,13,22,31,?,1993?，共计222个数 ?5,14,23,32,?,1994?，共计222个数 ?6,15,24,33,?,1986?，共计221个数 ?7,16,25,34,?,1987?，共计221个数 ?8,17,26,35,?,1988?，共计221个数 ?9,18,27,36,?,1989?，共计221个数
每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111?9?999个数
【巩固】 (南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些
数种没有两数的差是5的倍数．
【解析】 构造公差为5的数列，如图，有五条链，看成5个抽屉，每条链上取1个数，最多取5个数．
1－6－11－16－21－26－31－36 2－7－12－17－22－27－32 3－8－13－18－23－28－33 4－9－14－19－24－29－34 5－10－15－20－25－30－35
【例 26】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、
11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．
【解析】 把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8 第2组：3，6，12 第3组：5，10 第4组：7 第5组：9 第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．
选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2?2?1?1?1?1?8个．
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如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9?4?5个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．
【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数． 【解析】 把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，
(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．
【例 27】 从1，3，5，7，?，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一
个数的倍数?
【解析】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，
于是从35开始，1～99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
评注：1～2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).
【例 28】 从整数1、2、3、?、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，
其中的一个是另一个的倍数.
【解析】 把这200个数分类如下：
(1)1，1?2，1?22，1?23，…，1?27，
(2)3，3?2，3?22，3?23，…，3?26， (3)5，5?2，5?22，5?23，…，5?25，
…
(50)99，99?2， (51)101， (52)103， … (100)199，
以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.
【例 29】 从1，2，3，??49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，
则最多能取出多少个数？
【解析】 将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数
的个数分别为7，8，7，7，7，7，7.被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个． 所以最
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多可以取出8?7?7?1?23个
【例 30】 从1，2，3，?，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有
两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．
【解析】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的
数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证． (2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．
(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．
最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．问题得证
【例 31】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排
成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?
【解析】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：
(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)； (2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)； ? ? ? ? ? ? ?
(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)； (9×10)、(9×11).
因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．
例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l～18号，共18个孩子．
若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．
那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．
【例 32】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？
【解析】 每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5
种各不相同的个数，共有：1?2?3?4?5??15，61?15?4?1，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．
【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的
本数相同？
【解析】 每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、
8、9、10、11这11种各不相同的本数，共有：1+2+3+?+11=66本，400?66?6?4，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本数+的各6人，还剩4本书，要使每个人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本书相同． 8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 15 of 23