441n?1=1-n?3，∵c1=1-4=-3，c2=1-2?3=3，∴c1c2=-1＜0，
44(2n?3)41nnn?1∵cn+1-cn=n?3-(n?1)3=n(n?1)3＞0，∴{cn}递增，由c2=3＞0，得n≥2时，cn＞0，
∴数列{cn}的“积异号数”为1．
?an?1?2Sn?1?a?2Sn?1【思路点拨】（1）由题意，当n≥2时，有 ?n，两式相减，得an+1-an=2an，
由此能求出t=1．
nan?4n?3n?1?14nan=n?3n?1 =1- n?3n?1，由此能求出数列{cn}
（2）由（1）得an=3n-1，从而cn=
的“积异号数”为1．
x22?y?1(a?0)2【题文】21．(12分)已知点F是椭圆1?a的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO． （1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线x??a分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【知识点】椭圆及其几何性质H5
2y?4ax； （2）FS?FT的值是定值，且定值为0． 【答案解析】（1）
x2?y2?1(a?0)2（1）?椭圆1?a右焦点F的坐标为(a,0)，
?NF?(a,?n)．MN?(?m,n)，?由MN?NF?0，得n2?am?0.
设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，
?m??x,??yn?.2?2代入n2?am?0，得y?4ax. ?y12y22A(,y1)B(,y2)x?ty?a4a4a（2）（法一）设直线AB的方程为，、，
lOA:y?则4a4axlOB:y?xy1，y2.
由4a?y?x,?y?1?x??a?4a24a2S(?a,?)T(?a,?)yy12，得， 同理得．
4a24a216a42?FS?(?2a,?)FT?(?2a,?)FS?FT?4a?y1，y2，则y1y2.
?x?ty?a,?2222y?4ax?yy??4ay?4aty?4a?0?12由，得，.
16a422FS?FT?4a??4a?4a?02(?4a)则.
2因此，FS?FT的值是定值，且定值为0.
【思路点拨】1）设点P（x，y），由题意可知，，消去n与m可得y2=4ax．
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，得：k2x2-（2ka+4a）x+k2a2=0，则x1x2=a2，y1y2=-4a2．即可得到答案．
2f(x)?a(x?1)?lnx?1． 【题文】22．(12分)已知函数
a??（1）当14时，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数，求实数a的取值范围；
?x?1?y?x?0所表示的平面区域内，求x?[1,??)y?f(x)（3）当时，函数图象上的点都在?实数a的取值范围．
【知识点】导数的应用B12
f(2)?【答案解析】（1）极大值31?ln2(??,?]44；；（2）（3）(??,0].
a??：（1）当11113f(x)??(x?1)2?lnx?1??x2?x?lnx?(x?0)4时，4424，
111(x?2)(x?1)f'(x)??x????(x?0)2x22x，
''f(x)?0f0?x?2由解得，由(x)?0解得x?2，
故当0?x?2时，f(x)的单调递增；当x?2时，f(x)单调递减，
∴当x?2时，函数f(x)取得极大值f(2)?3?ln24. f'(x)?2a(x?1)?（2）1x，∵函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，
f'(x)?2a(x?1)?∴11?02a?2x?x?x在[2,4]上恒成立， 在区间[2,4]上恒成立，即12只需2a不大于?x?x在[2,4]上的最小值即可．
11?111?x2?x?(x?1)2?1?[?,?]2(2?x?4)2?x?424?x?x212而，则当时，， 2a??∴111a??(??,?]2，即4，故实数a的取值范围是4． 8分
?x?1?y?x?0所表示的平面区域内，即当x?[1,??)时，不等式f(x)（3）因图象上的点在?f(x)?x恒成立，即a(x?1)2?lnx?x?1?0恒成立，设g(x)?a(x?1)2?lnx?x?1（x?1），只需
'g(x)max?0即可．
12ax2?(2a?1)x?1g(x)?2a(x?1)??1?xx由，
g'(x)?1?x'x，当x?1时，g(x)?0，函数g(x)在(1,??)上单调递
（ⅰ）当a?0时，减，故g(x)?g(1)?0成立．
（ⅱ）当a?0时，由g'(x)?2ax?(2a?1)x?1?x22a(x?1)(x?x1)2a'g，令(x)?0，得
x1?1或x2?12a，
11?1a?'2时，在区间(1,??)上，g(x)?0，函数g(x)在(1,??)上单调递增，①若2a，即函数g(x)在[1,??)上无最大值，不满足条件；
1111?10?a?(1,)(,??)2时，函数g(x)在2a上单调递减，在区间2a②若2a，即上单调递增，同样g(x)在[1,??)上无最大值，不满足条件．
2a(x?1)(x?（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)=
1)2a，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，则函数
xg（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
【思路点拨】把a代入求导数求出极值点，通过增减性求出最值确定a的范围。