K?(s?zi)m?(s??j?1i?1nn?m （3-18）
j)式中，K?bman，由于M(s),D(s)均为实系数多项式，故闭环零点zi、极点?j只能是实根或共轭复数。设系统闭环极点均为单极点，系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为
m1 C(s)??(s)??sK?(s?zi)s?(s??j)j?1i?1n?
M(0)1nM(s)???
D(0)sj?1sD?(s)s??j1 s??j（3-19）
对上式进行拉氏反变换可得
M(0)nM(s)?? c(t)?D(0)j?1sD?(s)?e?kt?
s??j
M(0)M(s)??D(0)?i???isD?(s)?e??it?
s??i
?i???jAe????idi?itsin??dit??i?
（3-20）
可见，除常数项M(0)D(0)外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于左半s平面时，随时间t的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在M(0)D(0)。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。
3.2 当a已知时三阶系统的阶跃响应曲线
3.2.1 当a=0.84时系统的阶跃响应曲线
此时三阶系统的一般表达式为：
2.268G(s)=3,将分子分母的系数代入1.3所述MATLAB程序
s?1.64s2?1.312s?0.5376中，得到：
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num=[2.268]
den=[1,1.64,1.312，0.5376] t=0:0.01:20
step(num,den,t)
[y,x,t]=step(num,den,t) %求单位阶跃响应 maxy=max(y) %响应的最大偏移量 yss=y(length(t)) %响应的终值 pos=100*(maxy-yss)/yss %求超调量 for i=1:2001
if y(i)==maxy
n=i;end
end
tp=(n-1)*0.01 %求峰值时间 y1=1.05*yss y2=0.95*yss i=2001 while i>0 i=i-1
if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end end
ts=(m-1)*0.01 %求调节时间 title('单位阶跃响应') grid
保存并运行程序，得到单位响应曲线：
从阶跃响应曲线图中得到系统的动态性能指标：
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最大偏离量h(tp)=4.59，终值h(∞)=4.22，上升时间tr=2.81，峰值时间
tp=6.07,调节时间ts=7.48,超调量 σ%=8.74。
3.2.2 当a=2.1时系统的阶跃响应曲线
三阶系统的一般表达式为：
5.67G(s)=3,将3.2.1程序中分子分母的系数替换为此时的系
s?2.9s2?2.32s?1.344数，程序其余部分不变。运行程序得到阶跃响应曲线如下：
将鼠标分别移动的图中四个蓝点处，得到动态性能指标：
h(tp)=4.85，h(∞)=4.22，tr=2.23，tp=5.09，ts=7.1，σ%=14.9。
3.2.3 当a=4.2时系统的阶跃响应曲线
三阶系统的一般表达式为：
11.34G(s)=3,同上，把3.2.1程序中分子分母的系数替换为此表2s?5s?3.36s?2.688达式相应的系数，程序其余部分不变。同样得到单位阶跃响应曲线为：
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同样从阶跃响应曲线得到系统动态性能指标：
最大偏离量h(tp)=5.27，终值h(∞)=4.22，上升时间tr=1.91，峰值时间
tp=4.62,调节时间ts=9.91,超调量 σ%=24.9。
3.3 三阶系统动态性能分析比较
表3-1 三阶系统动态性能分析比较 系统闭环传递函数 编号 2.268 1 s3?1.64s2?1.312s?0.53765.67 2 s3?2.9s2?2.32s?1.344 11.34 3 s3?5s2?3.36s?2.688 tr 2.81 tp 6.07 ts σ% 8.74 7.48 2.23 5.09 14.9 7.1 1.91 4.62 24.9 9.91 2.7 4 s2?0.8s?0.642.05 4.53 16.3 6.61 ?比较表3-1中第三行与第四行的动态性能，基本可以看出非主导极点对系
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统动态性能的影响为：增大峰值时间，使系统响应速度变慢，但可以使超调量σ%减表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼，且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。
?从以上四幅阶跃响应的动态性能指标可以看出，它们的终值相等。说明主导极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用。
3.4 近似条件
3.4.1 闭环主导极点
对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的模态只影响阶跃响应的起始
段，而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的系数与零、极点的分布有如下关系：①若某极点远离原点，则相应项的系数很小；②若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；③若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称相应极点为主导极点。
3.4.2 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法
一般规定，若某极点的实部大于主导极点实部的5~6倍以上时，则可以忽略相应分量的影响；若两相邻零、极点间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则称该零、极点对为“偶极子”，其作用近似抵消，可以忽略相应分量的影响。在绝大多数实际系统的闭环零、极点中，可以选留最靠近虚轴的一个或几个极点作为主导极点，略去比主导极点距虚轴远5倍以上的闭环零、极点，以及不十分接近虚轴的靠得很近的偶极子，忽略其对系统动态性能的影响。
应该注意使简化后的系统与原高阶系统有相同的闭环增益，以保证阶跃响应终值相同。利用MATLAB语言的step指令，可以方便准确地得到高阶系统的单位阶跃响应和动态性能指标。
4 心得体会
在此次用MATLAB进行控制系统动态性能的分析的课程设计中，我对三阶系统动态性能有了更深的认识。在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。
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