第10课时：第二章 函数——函数的值域
一．课题：函数的值域
二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数
值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识：
1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：
求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．
（三）例题分析：
例1．求下列函数的值域：
（1）y?3x2?x?2； （2）y??x2?6x?5； （3）y?3x?1x?2；
（4）y?x?41?x； （5）y?x?1?x2； （6）y?|x?1|?|x?4|； （7）y?2x?x?2x?x?122； （8）y?2x?x?12x?12(x?12)； （9）y?1?sinx2?cosx
解：（1）（一）公式法（略）
（二）（配方法）?y?3x2?x?2?3(x?)2?612312?2312，
∴y?3x2?x?2的值域为[2312,??)．
改题：求函数y?3x2?x?2，x?[1,3]的值域．
解：（利用函数的单调性）函数y?3x2?x?2在x?[1,3]上单调增， ∴当x?1时，原函数有最小值为4；当x?3时，原函数有最大值为26． ∴函数y?3x2?x?2，x?[1,3]的值域为[4,26]．
（2）求复合函数的值域：设???x2?6x?5（??0），则原函数可化为y??． 又∵???x2?6x?5??(x?3)2?4?4，∴0???4，故??[0,2]，
∴y??x2?6x?5的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：y?∴原函数y?3x?1x?23x?1x?2的反函数为y?2x?1x?3，其定义域为{x?R|x?3}，
的值域为{y?R|y?3}．
3x?1x?2?3(x?2)?7x?2?3?7x?2（法二）分离变量法：y?∵
7x?2?0，
，∴3?3x?1x?27x?2?3，
∴函数y?的值域为{y?R|y?3}．
（4）换元法（代数换元法）：设t?1?x?0，则x?1?t2， ∴原函数可化为y?1?t2?4t??(t?2)2?5(t?0)，∴y?5， ∴原函数值域为(??,5]． 说明：总结y?ax?b?y?ax?b?2cx?22型d值域，变形：y?ax?b?cx?d或
cx?d
（5）三角换元法：∵1?x2?0??1?x?1，∴设x?cos?,??[0,?]， 则y?cos??sin??2sin(??∵??[0,?]，∴??∴2sin(???4?4)
?4?[?5?4,4]，∴sin(???4)?[?22,1]，
)?[?1,2]，
∴原函数的值域为[?1,2]．
??2x?3?y?|x?1|?|x?4|??5?2x?3?(x??4)(?4?x?1)(x?1)（6）数形结合法：，∴y?5，
∴函数值域为[5,??)．
（7）判别式法：∵x2?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R． 由y?2x?x?2x?x?122得：(y?2)x2?(y?1)x?y?2?0 ①
①当y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R
②当y?2?0即y?2时，∵x?R时方程(y?2)x2?(y?1)x?y?2?0恒有实根， ∴??(y?1)2?4?(y?2)2?0，∴1?y?5且y?2， ∴原函数的值域为[1,5]．
12（8）y?2x?x?12x?1?x(2x?1)?12x?1?x?12x?1?x?12?2x?12?12，
1112?2(x?12)2(x?12)?2∵x?12，∴x?121?0，∴x?12?2x?，当且仅当x?12?2x?12时，即x?1?22时等号成立．∴y?2?12，∴原函数的值域为[2?12,??)．
（9）（法一）方程法：原函数可化为：sinx?ycosx?1?2y， ∴1?y2sin(x??)?1?2y（其中cos??1?2y1?y211?y2,sin??y1?y2），
43∴sin(x??)?∴|1?2y|??[?1,1]，
431?y2，∴3y2?4y?0，∴0?y?，
∴原函数的值域为[0,]．
（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆x2?y2?1上的点的连线的斜率的范围，解略．
例2．若关于x的方程(2?2?|x?3|)2?3?a有实数根，求实数a的取值范围．
解：原方程可化为a?(2?2?|x?3|)2?3，
令t?2?|x?3|，则0?t?1，a?f(t)?(t?2)2?3，又∵a?f(t)在区间(0,1]上是减函数，
∴f(1)?f(t)?f(0)，即?2?f(t)?1，
故实数a的取值范围为：?2?a?1．
例3．（《高考A计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元(t?0)之间满足：3?x与t?1成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．
（1）将2003年的年利润y万元表示为年促销费t万元的函数； （2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润＝收入－生产成本－促销费） 解：（1）由题设知：3?x?∴年生产成本为[32(3?2t?1kt?1，且t?0时，x?1，∴k?2，即x?3?2t?1)?3]?122t?1t，
)?3]万元，年收入为150%[32(3?2)?3]?12t}?[32(3?2t?1．
∴年利润y?{150%[32(3?∴y??t?98t?352(t?1)2t?1)?3]?t(t?0)，
(t?0)．
（2）由（1）得
y??(t?1)?100(t?1)?642(t?1)t?12?322?50?(t?12?32t?1)?50?2t?12?32t?1?42，
当且仅当
，即t?7时，y有最大值42．
t?1∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．
（四）巩固练习：
1．函数y?2xx2?1的值域为(0,1)．
222．若函数f(x)?logax在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a?或2．
五．课后作业：《高考A计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14
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