∴x=60，
∴∠ADC=60°．
1点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C=2∠BOC是解题的关
键． 19．（2012?长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD．
考点：圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；解直角三角形． 专题：探究型． 分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论． 解答：解：（1）在△ABC中， ∵∠BAC=∠APC=60°， 又∵∠APC=∠ABC， ∴∠ABC=60°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°， ∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆， ∴O为△ABC的外心， ∴BO平分∠ABC， ∴∠OBD=30°，
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1∴OD=8×2=4．
点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力． 20．（2012?大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可； （2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可． 解答：解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D， ∴∠BDC=90°， ∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线， ∴AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°，
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即∠ACB=30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E， ∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，
CDCD∴cos30°=BC=3， 33∴CD=2，
∵AD=CD， ∴AC=33，
∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
331?33∴AE=2=2．
点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键． 21．（2012?怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB． （1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数； （2）若AC=23，求证：△ACD∽△OCB．
考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定． 专题：证明题；几何综合题． 分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
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（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得
ACDC?OCBC，根据相似三角形的判定推出即可． 出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出
解答：（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．
（2）证明：过O作OE⊥AB于E， 由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
1∴OE=2OB=2，
由勾股定理得：BE=23=AE， 即AB=2AE=43， ∵AC=23， ∴BC=23，
即C、E两点重合， ∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=23，
ACDC∴
OC?BC=3， ∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．
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点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．
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