（1）求证：AE?BD；
（2）若AC?BC，求证：AD?BD?2CD．
证明：（1）在△ABC中，?CAB??CBA．
在△ECD中，?CAB??CBA． ?CBA??CDE，（同弧上的圆周角相等），??ACB??ECD． ??ACB??ACD??ECD??ADE．??ACE??BCD． 在△ACE和△BCD中，
?ACE??BCD；CE?CD；AC?BC ?△ACE≌△BCD．?AE?BD． （2）若AC⊥BC，?ACB??ECD．
??ECD?90，??CED??CDE?45．
?DE?2CD，又?AD?BD?2CD
AD?BD?AD?EA?ED
8、（2018四川成都）如图，A是以BC为直径的O上一点，AD?BC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
E （1）求证：BF?EF；
A （2）求证：PA是O的切线；
F （3）若FG?BF，且O的半径长为32，求BD和FG的长度．
P B G D O C
∵BC是（1）证明：O的直径，BE是O的切线，
∴EB?BC．
又∵AD?BC，∴AD∥BE．
易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
BFCFEFCFBFEF∴?，??．∴． DGCGAGCGDGAG∵G是AD的中点，∴DG?AG．∴BF?EF． （2）证明：连结AO，AB．
∵BC是O的直径，∴?BAC?90°．
P E A F G B Ｈ C
D O 在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点， ∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB． 又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．
∵BE是O的切线，∴?EBO?90°．
∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切线．
（3）解：过点F作FH?AD于点H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC． 由（1），知?FBA??BAF，∴BF?AF．
由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即
HG1?． DG2∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°， ∴四边形BDHF是矩形，BD?FH． ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．
∴FHFGHGBDFGHG1?????． ，即CDCGDGCDCGDG2∵O的半径长为32，∴BC?62．
∴BDBDBD1???．解得BD?22．∴BD?FH?22． CDBC?BD62?BD2FGHG11??，∴FG?CG．∴CF?3FG． CGDG22∵222在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF?BF?BC．
．∴FG?3． ∴(3FG)2?FG2?(62)2．解得FG?3（负值舍去）
［或取CG的中点H，连结DH，则CG?2HG．易证△AFC≌△DHC，
∴FG?HG，故CG?2FG，CF?3FG． 由GD∥FB，易知△CDG∽△CBF，∴CDCG2FG2???． CBCF3FG3由62?BD2?，解得BD?22． 362又在Rt△CFB中，由勾股定理，得(3FG)2?FG2?(62)2，∴FG?3（舍去负值）．］