[说课稿]
两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）
两角和与差的余弦这一节，分两个课时，我现在要说的是第一课时，重点是公式的推导，其次是它的基础一些的简单应用。至于结合同角三角公式的应用、公式的变用、活用等提高练习则留在第二课时进行。 一、 教材分析
教材的地位和作用：本节课教学内容是高一（下）第四章4.6节第一课时（两角和与差的余弦）。本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及它们的简单应用。这节内容在高考中不但是热点，而且一般都是中、低档题，是一定要拿到分的题。
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。
教学难点：余弦和角公式的推导以及应用，学会恰当代换、逆用公式等技能。 二、教学目标
（一）知识目标：
1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导； 2、能用代换法推导C(α-β)公式；
3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目标：
1、通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力；
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2、通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力。 （三）情感目标：
1、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美
2、通过教师启发引导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精神。 三、学情分析：
根据现在的学生知识迁移能力差、计算能力差的特点，第一节课不要太多公式应用。 四、教法分析
1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。
引导学生建立一直角坐标系xOy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角
?、?与??，使角?的始边为Ox，交圆O于点P1，终边交圆O于点P2；角?的始边为OP2，
??的三终边交圆O于P3，角??的始边为OP1，终边交圆O于点P4，并引导学生用?、?、角函数标出点P1、P2、P3、P4的坐标。并充分利用单位圆、平面内两点的距离公式，使学生弄懂由距离等式PP13?P2P4化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式，从而克服本课的难点。
2、教具：多媒体投影系统。（多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。） 五、 学法指导
1、能灵活求写角?的终边与单位圆的交点坐标?cos?,sin??，并结合平面几何知识推证出公式C?????:cos??????cos?cos??sin?sin?。
2、本节的中心公式是C?????，然后对?、?作不同的特值代换可得其他公式，故灵活适当的代换是学好本节内容的基础。
3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
在教学过程中，启动学生自主性学习，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。
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六、教学过程
（一）新课引入，产生对公式的需求。 1、学生先讨论“cos750=cos（45+30）=cos45+cos30是否成立？”。（学生可能通
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过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）。得出cos（45+30）≠cos45 +cos30。进而得出cos（α+β）≠cosα+cosβ这个结论。那么此时
cos750,cos150又是多少， 75°，15°虽然不是特殊角，但有某种特殊性，即可以表示成
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特殊角的和与差。那么能不能由特殊角的三角函数值来表示这种和角与差角的三角函数值？
2、如果特殊角可以，对一般的两个角，当它的三角函数值已知时，能否求出和与差的三角函数值？即能否用单角的三角函数来表示复角的三角函数呢？提出cos（α+β）又等于什么呢？写出标题。 （二）预备知识
在解决上面的问题之前，我们先来作一点准备，解决“平面内两点间距离的公式”这一问题。
（1）回忆初中学习过的数轴上的两点间的距离公式x1?x2
（2）通过上面的复习，我们已经熟悉了数轴上两点间距离公式。那么，平面内两点间距离与这两点的坐标有什么样的关系呢？（通过课件演示让学生体会平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系）
平面内两点间距离公式推导分析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）由勾股定理联想从P1、P2分别作X、Y轴的垂线，则有：M1（x1，0），M2（x2，0）,N1 （0，y1），N2（0，y2）。通过演示课件 P1Q= M1M2=│x2-x1│ QP2= N1N2=│y2-y1│ 根据勾股定理写出
P1P2=P1Q+QP2=(x2-x1)+(y2-y1)。由此得平面内P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点间的距离
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公式:P1P2= (x2-x1)+(y2-y1)
习：P（3，-1），Q（-3，-9）求PQ（建议这部分不要花太多时间）
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（3）、复习单位圆上点的坐标表示，为推导公式作铺垫。 （三）公式推导
我们要用α、β、α+β的三角函数来表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，构造α、β、α+β的角时，联想建坐标系、作单位圆。（1）分别指出点P1、P2、P3的坐标。（2）求出弦P1P3的长。（3）思考构造弦P1P3的等量关系。当发现|P1P3|可以用cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P1P3相等的弦，从而才想到作出角(-β)。
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α,α+β和-β。它们的终边分别交单位圆于P2、P3
和P4点，单位圆与X轴交于P1。则：P1(1,0)、 P2（cosα，sinα）、P3（cos（α+β），sin（α+β））、
p4(cos(??),sin(??))
1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式PP13?P2P4 2．将PP13?P2P4转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.记作C?????
注意：（1）公式的结构特征：左边是两角和的余弦，右边是两两同名函数的积。
（2）公式的记忆口诀：哥哥捡伞伞（用音译，让学生觉得有趣并得以记住公式） （3）公式的用途：用单角α、β的三角函数来表示复角的α+β余弦
（4）注意强调公式中α、β是任意角。因为α、β是任意角，且两点间的距离公式具有一般性，所以此公式适用于任意角，具有一般性。以后可以用此公式导出其它公式，如用-β去代替β导出C(α-β) 。 （四）公式应用
正因为α、β的任意性，所以赋予C(α+β)公式的强大生命力。 提问：
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1、请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求出哪些非特殊角的值呢？ 让学生动笔自由尝试、主动探索。同学会求cos15°、cos75°、cos105°等。
π2、若β固定，分别用π,代替α，你将发现什么结论呢？
2ππ用C(α±β)公式得到证明：cos(π?β)??cosβ,cos(?β)??sinβ,cos(?β)?sinβ.让学生发
22现C(α±β)公式是诱导公式的推广，诱导公式是C(α±β)公式的特殊情况。当其中一个角是数倍时用诱导公式较好。 例题：例1、已知sin α=
?的整22?33? ，α∈（ ，π），cosβ=- , β∈（π， ），求cos（α-β）、3422cos（α+β）。 （解略）
解题回顾：这是公式的直接使用，缺什么找什么。另要注意α、β所在区间，确定函数
值的符号。 练习：已知 sin??15??,??(,?)，求cos(??) 1723例2、求值cos80°cos20°+sin80°sin20°。（解略）
解题回顾：通过观察式子结构，学会逆用公式。 练习： （1）cos215°-sin215°，为二倍角公式埋下伏笔。
（2） （2006年陕西高考）Cos43°cos77°+sin43°cos167°，逐步学会把不符合公
式结构变形使之符合。
3??????（3） （2004全国高考题）设???0,?，若cos??，则2cos?????_____，
542????利用高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。
[注] 逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力。同时渗透了一种化归思想。
（五）课堂练习:P42 1，2（3），3（2）（4）（3）
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（六）总结
1、牢记公式的结构，学会逆用公式。不符合公式结构的，常通过诱导公式变形使之符合。 2、强调公式中α、β的任意性。
3、恰当代换是学好本节基础；逆用公式是本节基本技能。 （七）作业： 2（2）（4） 3（3）（4）（5）（6）（8）
[注]通过布置作业使学生进一步巩固本节的重点内容。 板书设计
第四章两角和与差的余弦 cos(α?β)?cosαcosβ平面内两点间的距离公式 以-β代β C (α+β) C (α-β) α、β任意角 代换 求cos15°等 诱导公式及其它 练习反馈 ?sinαsinβ 小结 1、平面内两点间的距离公3、例题 式 P1P2?(x2?x1)2?(y2?y1)2例1 例2 2、两角和差的余弦公式
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