北京市石景山区2010年高三统一测试
数学试题（理科）
考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。 2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。 1．复数
2等于 1?iA．?2i
B．2i
C．1?i
D．1?i
（ ）
2．已知命题p:?x?R,x?2，那么命题?p为
A．?x?R,x?2 C．?x?R,x??2
B．?x?R,x?2 D．?x?R,x??2
（ ）
3．已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m),且a//b,则m的值为
（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 A．80 B．60 C．40 D．20
5．经过点P（2，-3）作圆(x?1)2?y2?25的弦AB，使点P为
弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为
A．x?y?5?0
B．x?y?5?0
（ ）
（ ）
C．x?y?5?0 D．x?y?5?0
6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
1n1*B．求数列{}的前10项和(n?N)
2n1*C．求数列{}的前11项和(n?N)
n1*D．求数列{}的前11项和(n?N)
2n*A．求数列{}的前10项和(n?N)
7．已知函数f(x)的导函数f?(x)的图象如图所示， 那么函数f(x)的图象最有可能的是
8．已知函数f(x)?()?log2x，正实数a,b,c是公差为正数的等差数列，且满足
（ ）
13xf(a)?f(b)?f(c)?0。若实数d是方程f(x)?0的一个解，那么下列四个判断：
①d?a;②d?b;③d?c;④d?c中有可能成立的个数为 A．1
B．2
C．3
D．4
（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．二项式(x?作答）
10．已知曲线C的参数方程为?24)的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 。（用数字x?x?cos?,（?为参数），则曲线C的普通方程是 ；点A
?y??2?sin?,?2x?y?2?0?在曲线C上，点M(x,y)在平面区域?x?y?2?0上，则|AM|的最小值是 。
?2y?1?0?11．如图，已知PE是圆O的切线，直线PB交圆O于
A、B两点，PA=4，AB=12，AE?43，则PE的 长为 ，?ABE的大小为 。 12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学
生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分 为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段
?50,60?,?60,70??[90,100]后，画出部分频率分
布直方图（如图），那么历史成绩在?70,80?的学 生人数为 。
13．函数y?cosx?sinx?2sinx?cosx的最小正周期为 ，此函数的值域为 。
14．在数列{an}中，若an?an?1?p,(n?2,n?N,p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下
22*22
列是对“等方差数列”的判断；
2①若{an}是等方差数列，则{an}是等差数列；
②{(?1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k?N*,k为常数)也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）
在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且a?1,c?2,cosC?3
，4 （1）求sin(A?B)的值； （2）求sinA的值； （3）求CB?CA的值。 16．（本题满分13分）
如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的
11和。某“幸运转盘积分活24动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。
（1）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值
分别是多少？
（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先
转哪个转盘？请说明理由。 17．（本题满分14分） 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，?ACB?90?，E是棱CC1上动点，F是AB中点，
AC?BC?2,AA1?4.
（1）求证：CF?平面ABB1；
（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1； （3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角
A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由。
18．（本题满分13分）
在数列{an}中，a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N)
*
（1）求a2,a3的值；
（2）证明：数列{an?n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn。 19．（本题满分14分）
x2y26已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，3ab直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A、B。
（1）求椭圆的方程；
???????? （2）求m?k,且OA?OB?0,求k的值（O点为坐标原点）；
（3）若坐标原点O到直线l的距离为 20．（本题满分13分）
已知函数f(x)?px?3，求?AOB面积的最大值。 2p?2lnx. x （1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；
（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?取值范围。
2e,若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p的x
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数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。 1—5CBDAA 6—8BAC
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．24，81
10．x2?(y?2)2?1 11．80，30 12．18
13．?,[?2,2]
14．①②③④ 注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）
解：（1）?在?ABC中，A?B???C
?sin(A?B)?sin(??C)?sinC
又?cosC?3， 4，
?0?C??2
?sinC?1?cos2C?7. 3分 47. 4
?sin(A?B)? （2）由正弦定得得
ac?. sinAsinC
?sinA?asinC?c1?74?14. 8分
8222 （2）由余弦定理得c?a?b?2abcosC
23?(2)2?12?b2?2?1?b?，
4则2b?3b?2?0 解得b?2或b??21（舍） 11分 2