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20XX年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
????1.f?x??cos??x??的最小正周期为，其中??0，则?= ．
56??2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．
1?i3.表示为a?bi?a,b?R?，则a?b?= ． 1?i4.A=?x?x?1??3x?7?，则A
2Z 的元素的个数 ．
5.a，b的夹角为120?，a?1，b?3 则5a?b? ．
6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ．
7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
序号 （i） 1 2 3 4 5 分组 （睡眠时间） [4，5] [5，6] [6，7] [7，8] [8，9] 组中值 （Gi） 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 （人数） 6 10 20 10 4 频率 （Fi） 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 ．
18.设直线y?x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ ．9
2在平面直角坐标系GOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：
?11??11??11?，请你完成直线OF的方程：（ ）?x??y?0x??????y?0. ???bc??pa??pa?10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
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． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
y211.已知x,y,z?R，满足x?2y?3z?0，则的最小值是 ．
xzx2y212.在平面直角坐标系GOy中，设椭圆2?2?1( a?b?0)的焦距为2c，以点
ab?a2?O为圆心，a为半径作圆M，若过点P ?,0?所作圆M的两条切线互相垂直，
?c??则该椭圆的离心率为e= ．
13．满足条件AB=2, AC=2BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ． 14.设函数f?x??ax3?3x?1（G∈R），若对于任意x???1,1?，都有f?x?≥0 成立，则实数a= ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系GOy中，以OG轴为始边做两个锐角?,?，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为（Ⅰ）求tan(???)的值； （Ⅱ）求??2?的值．
16．如图，在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点E 、F分别是AB、BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；
（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD ．
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的
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两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
18．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x2?2x?b?x?R?的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
19.（Ⅰ）设a1,a2,，且公差d?0，,an是各项均不为零的等差数列（n?4）
若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
a①当n =4时，求1的数值；②求n的所有可能值；
d（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,
20.若f1?x??3x?p1，f2?x??2?3x?p2，x?R,p1,p2为常数，函数f (G)定义为：
??f1?x?,f1?x??f2?x?对每个给定的实数G，f?x??? fx,fx?fx?2???2??1??,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
（Ⅰ）求f?x??f1?x?对所有实数G成立的充要条件（用p1,p2表示）；
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（Ⅱ）设a,b为两实数，满足a?b，且p1,p2∈?a,b?,若f?a??f?b?，求证：f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度之和为． n?m）
21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2?EBEC．
B．选修4—2 矩阵与变换
22b?a（闭区间?m,n?的长度定义为2A
B D C E
?2 0???
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x?y?1在矩阵??对应的变换作用下得0 1??到曲线F，求F的方程．
C．选修4—4 参数方程与极坐标
x2?y2?1上的一个动点，求在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆3S?x?y的最大值．
D．选修4—5 不等式证明选讲
111设a，b，c为正实数，求证：3?3?3+abc≥23．
abc
22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1BC11D1的对角线BD1上一
DP点，记1??．当?APC为钝角时，求?的取值范围．
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23．【必做题】．请先阅读：
在等式cos2x?2cos2x?1（x?R）的两边求导，得：(cos2x)??(2cos2x?1)??? ， 由求导法则，得(?sin2x)2?4cosx(?sinx)??，化简得等式：sin2x?2cosxsinx．
122（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=C0n?Cnx?Cnx?n?Cnnx
n（x?R，正整数n≥2），证明：n[(1?x)（2）对于正整数n≥3，求证：
n?1k?1． ?1]??kCkxnk?21k2n?1?1（i）?(?1)kC?0； （ii）?(?1)kC?0； （iii）?． Cn?n?1k?1k?1k?1k?1nkknnk2knn
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数学参考答案
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.T?2．【答案】
1 122???5????10
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故P?3. 【答案】1
31? 6?6121?i?1?i?【解析】本小题考查复数的除法运算．∵??i ，∴a＝0，b＝1，因1?i2此a?b?1 4. 【答案】0
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由(x?1)2?3x?7得
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