第九章 单元测试（四）------空间的角
一、选择题（6×6＝36）
1、已知a?(0,?1,1),b?(1,2,?1),则a与b的夹角等于 （ ） A．90° B．30° C．60° D．150° 2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A）（0o,90o） （B）[0o,90o] （C）[0o,180o] （D）（0o,180o） 3. 直线l与平面α成角为的取值范围是（ ） A. ?0，?，直线a?平面α，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角3??2?? 3??B. ?， C. ?， D. ?，? ??33232??????3 D1 C1 A1 B1 D C A B ??2????2?????? 4. 如下图所示，已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1?2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于（ ） A.
3 2B.
5 2C.
10 5D.
10 10 5． 在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC?1AB，这时二面角B2
—AD—C的大小是（ ） A. 60° B. 90° C. 45° D. 120° 6. 如下图所示，在二面角M—l—N的面M内，有Rt△ABC，斜边BC在棱上，若A在平面N内的射影为D，且∠ACD＝?1，∠ABD＝?2，二面角为θ，那么?1，?2，θ间应满足（ ） A. cos??cos?1?cos?2B. sin??sin?1?sin?2 C. tan??tan?1?tan?2 D. sin??cos?1?cos?2 二、填空题（4×6＝24）
7. 已知二面角??l??为60，异面直线a、b分别垂直于?与?，则a与b所成角为▲ 8、在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=AB=AC，且?BAC?0222222
222222?2，则PA与ABC所成角为▲
9、在正方体AC1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为 ▲ 10．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= ▲ 。
班级 姓名 学号 一 答案 1 2 3 4 5 6 二填空题： 7． ；8。 ；9。 ；10。 ； 三、解答题（4×10＝40） 11． 如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角．
12．直角?ABC的斜边AB在平面?内，AC,BC与?所成角分别为30?,45?，CD是斜边
AB上的高线，求CD与平面?所成角的正弦值
CH?ADB13．如果二面角??l??的平面角是锐角，点P到?,?,l的距离分别为22,4,42，求二面角的大小
14．如图，正方体的棱长为1，B?C?BC'?O，求：（1）AO与平面ABCD所成角的正
切值；（2）平面AOB与平面AOC所成角
D'B'ODEABC'A'C
【试题答案】
1. D 6. B
02、B 3、D
04. C 5 A
7、60 8、45 9、30 10、7
4．直角?ABC的斜边AB在平面?内，AC,BC与?所成角分别为30?,45?，CD是斜边
0AB上的高线，求CD与平面?所成角的正弦值 解：过点C作CH??于点H，连接AH,BH,OH，
则?CAH?30，?CBH?45，?CDH为所求CD与?所成角，记为?，
??令CH?a，则AC?2a,BC?2a，
C则在Rt?ABC中，有CD?AC?BC23?a AB3ADH在Rt?CDH中，sin??CH3 ?CD23. 2?B∴CD与平面?所成角的正弦值
5．如果二面角??l??的平面角是锐角，点P到?,?,l的距离分别为22,4,42，求二面角的大小 ?PBA分析：点P可能在二面角??l??内部，也可能C在外部，应区别处理 ?l解：如图1是点P在二面角??l??的内部时，图2是点P在二面角??l??外部时， ∵PA?? ∴PA?l ∵AC?l ∴面PAC?l 同理，面PBC?l
而面PAC?面PBC?PC ∴面PAC与面PBC应重合 即A,C,P,B在同一平面内，
图1P?ABC则?ACB是二面角??l??的平面角
?l图2在Rt?APC中，sin?ACP?PA221?? PB422
∴?ACP?30
在Rt?BPC中，sin?BCP?????PB42? ∴?BCP?45 ??PC422???故?ACB?30?45?75（图1）或?ACB?45?30?15（图2） 即二面角??l??的大小为75或15 ??说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角 6．如图，正方体的棱长为1，B?C?BC'?O，求：
（1）AO与A?C?所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角 解：（1）∵A?C?//AC ∴AO与A?C?所成角就是?OAC
D'B'OC'∵OC?OB,AB?平面BC? ∴OC?OA（三垂线定理）
A'在Rt?AOC中， OC?2,AC?2 ∴?OAC?30? 2ADEBC（2）作OE?BC，平面BC??平面ABCD
∴OE?平面ABCD，?OAE为OA与平面ABCD所成角 在Rt?OAE中，OE?115OE5 ∴tan?OAE? ?,AE?12?()2?AE5222（3）∵OC?OA,OC?OB ∴OC?平面AOB 又∵OC?平面AOC ∴平面AOB?平面AOC 即平面AOB与平面AOC所成角为90 ?