X P 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?（0
?1?EX?1??2?2?2?(1??)?3(1??)2?3?2?，
143?X，而x?(1?2?1)?，
332??令3?2??X，解之得?的矩估计量 ???由此得?的矩估计值 ?
5． 6?2e?2(x??)x??（2）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x,?)??，其中
?0x????0为未知参数．又x1,x2,?xn是X的一组样本观测值，求参数?的极大似然估计值．
解 因为L(x1,x2,?,xn;?)??2ei?1n?2(xi??)?2en?2(?xi?n?)i?1n,xi??,i?1,2,?,n，
所以lnL(?)?nln2?2(?xi?n?)，从而
i?1ndlnL(?)?2n?0， d?于是，?越大似然函数越大，但??min{x1,x2,?,xn}，
??min{x,x,?,x}． 因此?的极大似然估计值为?12n
（3）设总体X～N???,??，X,X,X2123为总体的一个样本，试证明：
??131115111?1?X1?X2?X3，?2?X1?X2?X3，?3?X1?X2?X3都是
51023412362?的无偏估计量，并分析哪一个最好
?1?(? 5．证 因为E?131191382?1?(??)???,D??)?2??，
510225100410011511252502?2?(??)???,D??2?(??E?)???，
3412916144144
11
11111114?3?(??)???,D??3?(??)?2??2， E?362936436?2最好． ?1,??2,??3都是?的无偏估计量，且D??2?D??1?D??3，从而?所以? ．
1n（4）证明在样本的一切线性组合中，X??Xi是总体期望值?的无偏估计中有效
ni?1的估计量． 证 设Y?nnn?kXii?1i是?的无偏估计，则EY?E(?kX)???kiii?1i?1i??，故
?ki?1ni?1，
2即kn?1?(k1?k2???kn?1)．设总体方差为?，则DY?D(?kX)???k2iii?1i?1nn2i，
??DY??k?2k1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,1???DY?2k2?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,? 解之得k1?k2?k3???kn， ??k2?????????????????,???DY??k?2kn?1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,?n?111n所以当k1?k2?k3???kn?时，DY取得极小值，即X??Xi是?的此种类
nni?1型的无偏估计中有效的估计量．
概率论与数理统计练习题（10） 区间估计、假设检验
姓名 学号 班级
3．计算题
（1）岩石密度的测量结果X~N(??,2，)现抽取12个样品，测得
?xi?112i． ?32.1,?xi2?89.92．当?未知时，求方差?2的置信区间（??0.1）
i?112（2）若总体X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?22)相互独立，已知样本数据
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n1?80,x?200,s1?80；n2?100,y?100,s2?100．求取??0.01时，?1??2的
置信区间．
（3）设某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩X为66.5分，标准差s为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．
（4）某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩中任意抽取15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否不合要求(??0.05)？
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